Escola Naval

Um plano π, ao interceptar os semi-eixos coordenados, determina sobre estes, segmentos iguais. Sabendo que os pontos P(1,-1,2) e Q(2,2,1) pertencem ao plano A, perpendicular ao plano π, pode-se afirmar que a equação do plano A é igual a:

Resposta: -2x + y + z = 1

Pontos em que o plano corta os semi-eixos, podem ser:
A(1,0,0)         B(0,1,0)           C(0,0,1)    

Para determinar o vetor normal à pi, devemos encontrar dois vetores contidos nesse plano para dai fazer o produto vetorial deles, assim:
AB = (-1,1,0)               AC = (-1,0,1)
AB x AC = (1,1,1) = n1

pi: x+y+z+d=0 ---> 1+d=0 ---> x+y+z-1 = 0

Sabemos que o vetor normal ao plano pi está contido no plano A, prova disso é que eles são perpendiculares. Foi dado no enunciado dois pontos de A, logo temos dois vetores contidos no plano, sendo assim, basta fazer o produto vetorial deles e encontrar o vetor diretor normal ao plano A. Sendo assim, temos:

PQ = (1,3,-1)                   n1 = (1,1,1)
PQ x n1 = (4,-2,-2) / 2 = (2,-1,-1)

A : 2x - y - z + d = 0           P(1,-1,2)
2 + 1 - 2 + d  = 0 ---> d = -1

A: 2x - y - z - 1 = 0

Abraço!!

laurorio escreveu:Pontos em que o plano corta os semi-eixos, podem ser:
A(1,0,0)         B(0,1,0)           C(0,0,1)    

Para determinar o vetor normal à pi, devemos encontrar dois vetores contidos nesse plano para dai fazer o produto vetorial deles, assim:
AB = (-1,1,0)               AC = (-1,0,1)
AB x AC = (1,1,1) = n1

pi: x+y+z+d=0 ---> 1+d=0 ---> x+y+z-1 = 0

Sabemos que o vetor normal ao plano pi está contido no plano A, prova disso é que eles são perpendiculares. Foi dado no enunciado dois pontos de A, logo temos dois vetores contidos no plano, sendo assim, basta fazer o produto vetorial deles e encontrar o vetor diretor normal ao plano A. Sendo assim, temos:

PQ = (1,3,-1)                   n1 = (1,1,1)
PQ x n1 = (4,-2,-2) / 2 = (2,-1,-1)

A : 2x - y - z + d = 0           P(1,-1,2)
2 + 1 - 2 + d  = 0 ---> d = -1

A: 2x - y - z - 1 = 0

Abraço!!

Entendi tudo laurorio, só não entendi pq os pontos que cortam o semi eixo são esses ai? A(1,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)

Não pense nos pontos, pense no vetor normal ao plano, se o plano determina segmentos iguais o vetor normal é sempre o mesmo, independente dos pontos.

Provando o exposto acima, vem:
A(2,0,0)         B(0,2,0)          C(0,0,2)
AB = (-2,2,0)            AC = (-2,0,2)

AB x AC = (4,4,4), como ele só passa uma noção de direção e sentido podemos simplificar, tendo assim:

(4,4,4) /4 = (1,1,1), mesmo vetor normal. Pronto!

Hum, entendi agora laurorio não havia pego a ideia do vetor diretor, muito obrigado mesmo! Abraço!