Edo redutível a homogênea

por almeida.s Dom 23 Jun 2024, 14:58

Eu estou tentando resolver este exercícios, porém já quebrei minha cabeça inúmeras vezes, alguém poderia me dar uma luz : )

Código:: [latex]x-y-1+(y-x+2)y'=0[/latex]

por **Giovana Martins** Dom 23 Jun 2024, 15:10

Tem o gabarito?

Tem um tempinho que não mexo com EDO, mas posso tentar à noite caso ninguém resolva antes.

por Edsonrs Seg 24 Jun 2024, 12:51

Não parece fácil não.
Acho que ela é não-linear e deve ter uma solução bem complicadinha.

por **Giovana Martins** Seg 24 Jun 2024, 13:18

Bom, resolvi assim. Vejam se concordam.

\[\mathrm{x-y-1+(y-x+2)\frac{dy}{dx} = 0}\]

\[\mathrm{Sendo\ p(x,y)=y-x\ \therefore\ \frac{\partial p(x,y)}{\partial x} = \frac{dy}{dx}-1}\]

\[\mathrm{\left [p(x,y)+2 \right ]\left [ \frac{\partial p(x,y)}{\partial x}+1 \right ] = p(x,y ) +1}\]

\[\mathrm{p(x,y)\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}+2\frac{\partial p(x,y)}{\partial x}+1=0\ \therefore\ \frac{\partial p(x,y)}{\partial x}=-\frac{1}{p(x,y)+2}}\]

\[\mathrm{Integrando\ ambos\ os\ lados : \frac{1}{2}[p(x,y)]^2+2p(x,y) = - x + C}\]

\[\mathrm{Sendo\ p(x,y)=y-x : \frac{1}{2}(y-x)^2+2(y-x) = -x + C}\]

\[\mathrm{Deste\ modo:y^2-2xy+4y+x^2-2x=C,\ com\ C\ constante}\]

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