ITA 1987

Giovana Martins escreveu:

Bom, mesmo sem a imagem, dá para ter uma ideia mais ou menos.

A velocidade no ponto B não é nula; é mínima.

Neste ponto a força gravitacional atua como resultante centrípeta. Daqui você acha a expressão da velocidade mínima neste ponto.

Substitua no balanço de energia igual você queria fazer que acredito que você chegará à resposta correta.

Mas poste a figura, por favor.

Giovana Martins escreveu:

Na verdade, não há nada que impeça que a velocidade no ponto B possa ser nula.

Eu só digo que não é nula, pois se for não precisamos nem fazer contas, pois a resposta é imediata uma vez que, sendo o sistema conservativo, toda a energia armazenada no ponto C converter-se-á em energia potencial gravitacional no ponto B, o que significa dizer que para ocorrer o que pede o enunciado h_B = h_C = H.

A igualdade acima decorre da seguinte ideia:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}\to mgH=mgh_B\ \therefore\ h_B=H=h_C}\]

Note que concluiríamos ainda que h_B = h_C = H = 2R.

Não parece ser isso que a questão quer.

Agora, com a imagem, vou propor a ideia que eu indiquei na mensagem anterior.

No ponto B:

\[\mathrm{F_G=F_C\to mg+N=\frac{mv^2}{R}\ \therefore\ v=\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}}\]

Note que estamos lidando com situações limites, ou seja, ao soltarmos o corpo do ponto C de uma altura necessária para o corpo atingir, ao menos, o ponto B, nesta situação supor-se-á que a velocidade do corpo no ponto B é mínima tal que o corpo está na iminência de perder contato com o ponto B. Sendo assim:

\[\mathrm{v_{min}=\lim_{N\to 0}\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}\ \therefore\ v_{min}=\sqrt{Rg}}\]

Seguindo a ideia de que estamos lidando com um sistema conservativo, estabelecendo um plano horizontal de referência no ponto A:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}+E_{cin\acute{e}tica,B}}\]

\[\mathrm{mgH=2mgR+\frac{1}{2}m\cancelto{\mathrm{Rg}}{\mathrm{v_{min}^2}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{H=\frac{5R}{2}}}}\]

Giovana Martins escreveu:

Na verdade, não há nada que impeça que a velocidade no ponto B possa ser nula.

Eu só digo que não é nula, pois se for não precisamos nem fazer contas, pois a resposta é imediata uma vez que, sendo o sistema conservativo, toda a energia armazenada no ponto C converter-se-á em energia potencial gravitacional no ponto B, o que significa dizer que para ocorrer o que pede o enunciado h_B = h_C = H.

A igualdade acima decorre da seguinte ideia:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}\to mgH=mgh_B\ \therefore\ h_B=H=h_C}\]

Note que concluiríamos ainda que h_B = h_C = H = 2R.

Não parece ser isso que a questão quer.

Agora, com a imagem, vou propor a ideia que eu indiquei na mensagem anterior.

No ponto B:

\[\mathrm{F_G=F_C\to mg+N=\frac{mv^2}{R}\ \therefore\ v=\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}}\]

Note que estamos lidando com situações limites, ou seja, ao soltarmos o corpo do ponto C de uma altura necessária para o corpo atingir, ao menos, o ponto B, nesta situação supor-se-á que a velocidade do corpo no ponto B é mínima tal que o corpo está na iminência de perder contato com o ponto B. Sendo assim:

\[\mathrm{v_{min}=\lim_{N\to 0}\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}\ \therefore\ v_{min}=\sqrt{Rg}}\]

Seguindo a ideia de que estamos lidando com um sistema conservativo, estabelecendo um plano horizontal de referência no ponto A:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}+E_{cin\acute{e}tica,B}}\]

\[\mathrm{mgH=2mgR+\frac{1}{2}m\cancelto{\mathrm{Rg}}{\mathrm{v_{min}^2}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{H=\frac{5R}{2}}}}\]

phodz escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Na verdade, não há nada que impeça que a velocidade no ponto B possa ser nula.

Eu só digo que não é nula, pois se for não precisamos nem fazer contas, pois a resposta é imediata uma vez que, sendo o sistema conservativo, toda a energia armazenada no ponto C converter-se-á em energia potencial gravitacional no ponto B, o que significa dizer que para ocorrer o que pede o enunciado h_B = h_C = H.

A igualdade acima decorre da seguinte ideia:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}\to mgH=mgh_B\ \therefore\ h_B=H=h_C}\]

Note que concluiríamos ainda que h_B = h_C = H = 2R.

Não parece ser isso que a questão quer.

Agora, com a imagem, vou propor a ideia que eu indiquei na mensagem anterior.

No ponto B:

\[\mathrm{F_G=F_C\to mg+N=\frac{mv^2}{R}\ \therefore\ v=\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}}\]

Note que estamos lidando com situações limites, ou seja, ao soltarmos o corpo do ponto C de uma altura necessária para o corpo atingir, ao menos, o ponto B, nesta situação supor-se-á que a velocidade do corpo no ponto B é mínima tal que o corpo está na iminência de perder contato com o ponto B. Sendo assim:

\[\mathrm{v_{min}=\lim_{N\to 0}\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}\ \therefore\ v_{min}=\sqrt{Rg}}\]

Seguindo a ideia de que estamos lidando com um sistema conservativo, estabelecendo um plano horizontal de referência no ponto A:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}+E_{cin\acute{e}tica,B}}\]

\[\mathrm{mgH=2mgR+\frac{1}{2}m\cancelto{\mathrm{Rg}}{\mathrm{v_{min}^2}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{H=\frac{5R}{2}}}}\]

mas soltando ela em H=2r ela chegaria em B, não chegaria?

matheus_feb escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Na verdade, não há nada que impeça que a velocidade no ponto B possa ser nula.

Eu só digo que não é nula, pois se for não precisamos nem fazer contas, pois a resposta é imediata uma vez que, sendo o sistema conservativo, toda a energia armazenada no ponto C converter-se-á em energia potencial gravitacional no ponto B, o que significa dizer que para ocorrer o que pede o enunciado h_B = h_C = H.

A igualdade acima decorre da seguinte ideia:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}\to mgH=mgh_B\ \therefore\ h_B=H=h_C}\]

Note que concluiríamos ainda que h_B = h_C = H = 2R.

Não parece ser isso que a questão quer.

Agora, com a imagem, vou propor a ideia que eu indiquei na mensagem anterior.

No ponto B:

\[\mathrm{F_G=F_C\to mg+N=\frac{mv^2}{R}\ \therefore\ v=\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}}\]

Note que estamos lidando com situações limites, ou seja, ao soltarmos o corpo do ponto C de uma altura necessária para o corpo atingir, ao menos, o ponto B, nesta situação supor-se-á que a velocidade do corpo no ponto B é mínima tal que o corpo está na iminência de perder contato com o ponto B. Sendo assim:

\[\mathrm{v_{min}=\lim_{N\to 0}\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}\ \therefore\ v_{min}=\sqrt{Rg}}\]

Seguindo a ideia de que estamos lidando com um sistema conservativo, estabelecendo um plano horizontal de referência no ponto A:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}+E_{cin\acute{e}tica,B}}\]

\[\mathrm{mgH=2mgR+\frac{1}{2}m\cancelto{\mathrm{Rg}}{\mathrm{v_{min}^2}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{H=\frac{5R}{2}}}}\]

Excelente resolução! Eu iria comentar o mesmo, mas você já explicou tudo perfeitamente. Obrigado!

Giovana Martins escreveu:

phodz escreveu:

Giovana Martins escreveu:

Na verdade, não há nada que impeça que a velocidade no ponto B possa ser nula.

Eu só digo que não é nula, pois se for não precisamos nem fazer contas, pois a resposta é imediata uma vez que, sendo o sistema conservativo, toda a energia armazenada no ponto C converter-se-á em energia potencial gravitacional no ponto B, o que significa dizer que para ocorrer o que pede o enunciado h_B = h_C = H.

A igualdade acima decorre da seguinte ideia:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}\to mgH=mgh_B\ \therefore\ h_B=H=h_C}\]

Note que concluiríamos ainda que h_B = h_C = H = 2R.

Não parece ser isso que a questão quer.

Agora, com a imagem, vou propor a ideia que eu indiquei na mensagem anterior.

No ponto B:

\[\mathrm{F_G=F_C\to mg+N=\frac{mv^2}{R}\ \therefore\ v=\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}}\]

Note que estamos lidando com situações limites, ou seja, ao soltarmos o corpo do ponto C de uma altura necessária para o corpo atingir, ao menos, o ponto B, nesta situação supor-se-á que a velocidade do corpo no ponto B é mínima tal que o corpo está na iminência de perder contato com o ponto B. Sendo assim:

\[\mathrm{v_{min}=\lim_{N\to 0}\sqrt{\frac{R(mg+N)}{m}}\ \therefore\ v_{min}=\sqrt{Rg}}\]

Seguindo a ideia de que estamos lidando com um sistema conservativo, estabelecendo um plano horizontal de referência no ponto A:

\[\mathrm{E_{m,C}=E_{m,B}\to E_{pg,C}=E_{pg,B}+E_{cin\acute{e}tica,B}}\]

\[\mathrm{mgH=2mgR+\frac{1}{2}m\cancelto{\mathrm{Rg}}{\mathrm{v_{min}^2}}\ \therefore\ \boxed{\mathrm{H=\frac{5R}{2}}}}\]

mas soltando ela em H=2r ela chegaria em B, não chegaria?

Chegaria. Só para deixar claro, o que você está propondo desde o início é plenamente possível, porém, me parece que a questão quer algo que caminhe na direção que eu propus, pois do contrário seria muito simples. A meu ver o examinador não iria propor algo tão simples.

O enunciado, em se tratando de uma questão discursiva, me parece "aberto" demais também. Para que o enunciado não desse brecha acerca do que está pedindo, em se tratando de uma questão discursiva igual é, bastaria o examinador indicar H > 2R no enunciado que aí não surgiria o seu questionamento e a resolução seria tal que eu propus.