Soma dos n primeiros termos

por Convidado Sex 06 Mar 2015, 22:45

A soma dos n primeiros termos de uma PA de razão 2 é 153. Se o primeiro termo é inteiro, determine os possíveis valores de n.

OBS: consegui "chegar" numa equação do segundo grau, mas não tenho certeza se está correto, visto que não tenho em mãos o gabarito!

Agradeço desde já!

por **Ashitaka** Sex 06 Mar 2015, 23:08

a1 = a
an = a + 2(n-1)

153 = (2a + 2n - 2)n/2
a = (153 - n²)/(n-1) = [-(n+1)(n-1) + 152]/(n-1) = -(n+1) + 152/(n-1)
Como a é inteiro, n-1 deve ser divisor de 152 e n > 1.
152 = 2³*19 ---> 8 divisores. Veja quais são esses divisores e iguale um por um a n-1, ache o valor de n e substitua para achar a.
Note que se a soma da PA é ímpar e a razão é par, o primeiro termo a é ímpar.

por suxigui Sáb 14 Mar 2015, 19:46

se 153 = an+n^2 - n

como passa dividindo (n-1)??

por **Carlos Adir** Sáb 14 Mar 2015, 20:28

$\\ a_1=a \\ a_n=a+2(n-1) \\ S=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n=a+(a+2)+(a+4)+\cdots+(a+2(n-1)) \\ S=a \cdot n + 2 \left(1+2+3+\cdots+(n-1) \right )=a\cdot n + 2 \cdot \dfrac{n(n-1)}{2}=n(n+a-1)$

Temos então:
$153=n(n+a-1)$
Percebemos que n não pode ser par. E que 153 = 3² . 17.
Temos então que temos algumas possibilidades:
$\\ \begin{cases}n=1\\ n=3 \\ n=9 \\ n=17 \\ n=51 \\ n=153 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}n+a-1=153\\ n+a-1=51 \\ n+a-1=17 \\ n+a-1=9 \\ n+a-1=3 \\ n+a-1 = 1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = 153\\ a=49 \\ a=9 \\ a=-7 \\ a=-47 \\ a=-151 \end{cases}$

Ou seja, a resposta final é que n pode ser 1, 3, 9, 17, 51, 153.