Geometria espacial - volume

por millenah Ter 27 Jan 2015, 10:51

Calcular o volume de um paralelepípedo retângulo sabendo que a diagonal do poliedro vale 7m, a área total mede 72m² e que a diagonal de uma face mede 3√5.

Dicas:
V= a.b.c
D= √a² + b² + c² = 7
At= 2.(ab+ac+bc) = 72
df=√a² + b² = 3√5

por **Fito42** Ter 27 Jan 2015, 12:19

Seja a, b, c os lados do paralelepípedo.
Cálculo da diagonal do poliedro:
d² = a² + b² + c²
49 = a² + b² + c² (I)
Em uma face:
d'² = a² + b²
(3√5)² = a² + b²

45 = a² + b² (II)
Fazendo (I) - (II):
4 = c², c = 2
Área total:
72 = 2 (ab+ac+bc)
36 = ab + a(2) + b(2)
a + b = 18 - ab/2 )
(a+b)² = a² + 2ab + b²
(18 - ab/2)² = (a² + b²) + 2ab [De (I)]
324 - 18ab + a²b²/4 = 45 + 2ab
279 + a²b²/4 = 20ab [Fazendo ab=x]:
x²/4 - 20x + 279 = 0
x' = 62 (ab = 62)

x'' = 18 (a'b' = 18)

V' = abc = (ab)(c) = 62*2 = 124
V'' = abc = (a'b')(c) = 18*2 = 36