Função quadrática

Boa noite.Agradeço a quem puder ajudar.

Determine m na equação do 2º grau mx²-2(m-1)x-m-1=0 para que se tenha uma única raiz entre -1 e 2.


R

Spoiler:

Sejam x1 e x2 as raízes, possibilidades:
-1 < x1 < 2 < x2 (caso 1) ou x1 < -1 < x2 < 2 (caso 2)

Para o primeiro caso temos: -1 < x1 < x2 e x1 < 2 < x2 :
I) -1 < x1 < x2 , devemos ter:
∆ > 0 ; m.f(-1) > 0 ; Xv < -1
calculando delta vc vai obter ∆ = 8m²-4m + 4 que é sempre maior que 0.

m.f(-1) > 0
m(m +2(m-1) -m-1) > 0
m(2m-3) > 0
m < 0 ou m > 3/2

Xv < -1
-b/2a < -1
(m-1)/m < -1
0 < m < 1/2

fazendo a interseção: Ø

II) x1 < 2 < x2 , devemos ter:
mf(2) < 0
m(4m  -4(m-1) -m-1 ) < 0
m(m-3) > 0
m < 0 ou m > 3
união de (I) com (II) : m < 0 ou m > 3 (III)


Para o segundo caso, temos : x1 < -1 < x2 e x1 < x2 < 2 , analogamente:
I') x1 < - 1 < x2
m.f(-1) < 0
m ( m + 2(m-1) -m -1 ) < 0
m(2m - 3) < 0
0 < m < 3/2

II') x1 < x2 < 2
m.f(2) > 0
m(m-3) > 0
m < 0 ou m > 3

Xv > 2
(m-1)/m > 2
-1 < m < 0
interseção: - 1 < m < 0
fazendo a união de I') com II') : -1 < m < 0 ou 0 < m < 3/2

e finalmente a união do primeiro caso com o segundo caso:
m < 3/2 ou m > 3 e m# 0 .

Muito Obrigado Luck. Me ajudou bastante.
Mas quando o exercício "falou" que 'para que se tenha uma única raiz entre -1 e 2." me fez imaginar que deveria haver somente uma raiz (Delta=0), que haveriam dois valores possíveis para m e que só um valor estaria nas intersecções.
O enunciado não deixa a entender que deve haver uma única raiz(Delta=0)?

Obrigado.

gustavolol2 escreveu:Muito Obrigado Luck. Me ajudou bastante.
Mas quando o exercício "falou" que 'para que se tenha uma única raiz entre -1 e 2." me fez imaginar que deveria haver somente uma raiz (Delta=0), que haveriam dois valores possíveis para m e que só um valor estaria nas intersecções.
O enunciado não deixa a entender que deve haver uma única raiz(Delta=0)?

Obrigado.

Uma única raiz entre -1 e 2 não significa que a equação possui raiz dupla, e sim uma neste intervalo. Além disso, veja que ∆ = 8m²-4m+4 que é sempre positivo ( pois a > 0 e ∆' = 16 - 4.8.4 < 0 ), o que garante que a equação tem duas raízes diferentes.

Verdade.Você tem razão.
Obrigado pelo esclarecimento.
Um abraço.

Por que , nesse caso ,  Xv > 2 ?

Sejam x1 e x2 as raízes, possibilidades:
-1 < x1 < 2 < x2 (caso 1) ou x1 < -1 < x2 < 2 (caso 2)

Não deveria ser -1 < x1 < 2 ≤ x2 ou x1 ≤ -1 < x2 < 2 ? 

"Uma única raiz entre 1 e 2". Isso não envolve nem o 1 nem o 2, o que faz com que a outra raiz possa ser um desses dois números...

Luck escreveu:Sejam x1 e x2 as raízes, possibilidades:
-1 < x1 < 2 < x2 (caso 1) ou x1 < -1 < x2 < 2 (caso 2)

Para o primeiro caso temos: -1 < x1 < x2 e x1 < 2 < x2 :
I) -1 < x1 < x2 , devemos ter:
∆ > 0 ; m.f(-1) > 0 ; Xv < -1
calculando delta vc vai obter ∆ = 8m²-4m + 4 que é sempre maior que 0.

m.f(-1) > 0
m(m +2(m-1) -m-1) > 0
m(2m-3) > 0
m < 0 ou m > 3/2

Xv < -1
-b/2a < -1
(m-1)/m < -1
0 < m < 1/2

fazendo a interseção: Ø

II) x1 < 2 < x2 , devemos ter:
mf(2) < 0
m(4m  -4(m-1) -m-1 ) < 0
m(m-3) > 0
m < 0 ou m > 3
união de (I) com (II) : m < 0 ou m > 3 (III)

Pessoal, por que aqui devemos fazer a união?

felipeomestre123 escreveu:

Luck escreveu:Sejam x1 e x2 as raízes, possibilidades:
-1 < x1 < 2 < x2 (caso 1) ou x1 < -1 < x2 < 2 (caso 2)

Para o primeiro caso temos: -1 < x1 < x2 e x1 < 2 < x2 :
I) -1 < x1 < x2 , devemos ter:
∆ > 0 ; m.f(-1) > 0 ; Xv < -1
calculando delta vc vai obter ∆ = 8m²-4m + 4 que é sempre maior que 0.

m.f(-1) > 0
m(m +2(m-1) -m-1) > 0
m(2m-3) > 0
m < 0 ou m > 3/2

Xv < -1
-b/2a < -1
(m-1)/m < -1
0 < m < 1/2

fazendo a interseção: Ø

II) x1 < 2 < x2 , devemos ter:
mf(2) < 0
m(4m  -4(m-1) -m-1 ) < 0
m(m-3) > 0
m < 0 ou m > 3
união de (I) com (II) : m < 0 ou m > 3 (III)

Pessoal, por que aqui devemos fazer a união?

Porque existem duas possibilidades para uma raíz entre -1 e 2, caso -1 ou 2 estejam entre as raízes

Sejam x1 e x2 as raízes

Podemos ter - 1 < x1 < 2 ---> Existem duas possibilidades para x2 ---> x2 < -1 e x2 > 2
ou
Podemos ter - 1 < x2 < 2 ---> Existem duas possibilidades para x1 ---> x1 < -1 e x1 > 2
ou