Trigonometria - Sendo 4 cm o raio...

Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94.

Seria uma lei dos senos depois uma lei dos cosenos ou um pitagoras para depois achar a corda AB?

OliviaTate escreveu:Sendo 4 cm o raio da circunferência da figura, calcule o comprimento da corda AB. Dados: sen 20º = 0,34 e cos 20º = 0,94.

Boa tarde, Olívia.

A corda e o diâmetro cruzam-se em determinado ponto.
Antes desse ponto onde se cruzam, temos:
Duas partes do diâmetro e duas semicordas.
De "potência de um ponto", deduzimos:
O produto das duas partes do diâmetro é igual ao produto das duas semicordas.
Designemos pela letra x a parte menor do diâmetro e por 8-x a parte maior do diâmetro.
As semicordas serão designadas por AB/2.

Usaremos a tangente do ângulo para relacionar (AB/2) com (8-x):
tg 20° = (sen 20°)/(cos 20°) = 0,34/0,94 = 34/94 = 17/47

(AB/2)/(8-x) = 17/47
(AB)/(16-2x) = 17/47

47.AB = 17(16-2x)
47.AB = 272 - 34x
34x = 272 - 47.AB

x = (272 - 47.AB)/34
x = 8 - 47.AB/34

Produto das duas partes do diâmetro = produto das duas semicordas (potência de um ponto):
(8-x)x = (AB/2)² = (AB)²/4

[8 - (8 - 47.AB/34)].(8 - 47.AB/34) = (AB)²/4

(47.AB/34).[272 - 47.AB)/34] = (AB)²/4

[12784.AB - 2209.(AB)²]/1156 = 289.(AB)²/1156

Descartamos os denominadores, por serem iguais, e fica:
12784.AB = (2209 + 289).(AB)²
12784.AB = 2498.(AB)²

Colocando AB em evidência, vem:
AB.(2498.AB - 12784) = 0

Para o produto acima ser nulo, basta que um dos fatores o seja; portanto:
AB=0 (descartamos, pois devemos ter AB≠0.
2498.AB - 12784 = 0
2498.AB = 12784

Calculando a medida da corda e semicordas:
AB = 12784/2498 = 6392/1249
AB = 5,1177 cm

AB/2 = 6392/1249 / 2 = 3196/1249 = 2,55885
(AB/2)² = 10214416/1560001 = 6,5477

Calculando as duas partes do diâmetro:
x = 8 - 47.AB/34
x = 8 - 47.(5,1177/34) = 8 - 7,074467 =0,925533
8-x = 8 - 0,925533 =7,074467

E agora verifiquemos se o produto das partes do diâmetro iguala-se ao produto das semicordas:
Produto das partes do diâmetro: x(8-x) = 0,925533 . 7,074467 = 6,5477
Produto das duas semicordas = 6,5477



Um abraço.

Sejam M e N as extremidades do diâmetro horizontal e P o ponto de encontro de AB com MN

O triângulo MAN é retâgulo em A( inscrito numa semicircunferência)

AN = MN.cos(A^MN) ---> AN = (2.R),sen20º ---> 

AM = MN.cos20º ---> AM = (2R).cos20º 

AM.AN = AP.MN ---> Calcule AP

AB = 2.AP

Muito obrigada! =D

Elcioschin escreveu:Sejam M e N as extremidades do diâmetro horizontal e P o ponto de encontro de AB com MN

O triângulo MAN é retâgulo em A( inscrito numa semicircunferência)

AN = MN.cos(A^MN) ---> AN = (2.R),sen20º ---> 

AM = MN.cos20º ---> AM = (2R).cos20º 

AM.AN = AP.MN ---> Calcule AP

AB = 2.AP

 Mestre, estou com dificuldades em enxergar os primeiros passos. Poderia explicá-los de uma outra forma, por favor? Obrigado!

Elcioschin escreveu:

Consegui entender agora. Muito obrigado!