(IME) Equações polinomiais

por hwcv Sáb 04 Jan 2014, 18:27

Dada a equação x^4 + 4x³ -4cx +4d = 0 (a, b, c, d racionais), determine a, b, c, d sabendo que a mesma possui uma raiz dupla da forma a + b√3 .

por PedroCunha Sáb 04 Jan 2014, 21:37

Se a,b,c e d são racionais e a + b√3 é raiz, então a - b√3 também é raiz. Ou seja, as raízes são a + b√3 (dupla) e a - b√3 (dupla)

Das relações de Girard:

2a + 2b√3 + 2a - 2b√3 = -4
4a = -4
a = -1

(a + b√3) * (a + b√3) + (a + b√3) * (a - b√3) + (a + b√3) * (a - b√3) +
(a + b√3) * (a - b√3) + (a + b√3) * (a - b√3) + (a-b√3) * (a-b√3) = 0

(a + b√3)² + (4 * (a+b√3) * (a-b√3)) + (a-b√3)² = 0
(-1 + b√3)² + (4 * (-1+b√3) * (-1-b√3)) + (-1-b√3)² = 0
1 - 2b√3 + 3b² + (4 * (1 - 3b²)) + 1 + 2b√3 + 3b² = 0
2 + 6b² + 4 -12b² = 0
6 - 6b² = 0
6 = 6b²
b = +- 1 --> Tanto faz qual sinais escolhermos, pois as duas raízes são duplas.

Ainda por Girard:

(-1+√3) * (-1+√3) * (-1-√3) + (-1+√3) * (-1+√3) * (-1-√3) +
(-1+√3) * (-1-√3) * (-1-√3) + (-1+√3) * (-1-√3) * (-1-√3) = 4c

2 * [ (-1+√3)² * (-1-√3) ] + 2 * [ (-1-√3)² * (-1+√3) ] = 4c
2 * [ (4 - 2√3) * (-1-√3) ] + 2 * [ (4 + 2√3) * (-1+√3) ] = 4c
2 * [ -4 - 4√3 + 2√3 + 6 ] + 2* [ -4 + 4√3 - 2√3 + 6 ] = 4c
2 * [2 - 2√3] + 2 * [2 + 2√3] = 4c
4 - 4√3 + 4 + 4√3 = 4c
8 = 4c
c = 2

Finalizando:

(-1 + √3) * (-1+√3) * (-1-√3) * (-1-√3) = 4d
[ (-1 + √3) * (-1 - √3) ]² = 4d
[ 1 - 3]² = 4d
4 = 4d
d = 1

Resposta: a = -1, b = +-1, c= 2, d = 1

Att.,
Pedro

¹A título de curiosidade, o polinômio é: x^4 + 4x³ + 8x + 4 = 0

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