Aritmética - soma dos dígitos de N

Um número natural N admite como fatores primos 3 e 5 . Se o multiplicarmos por 12 , o número de divisores aumenta 21 e se o multiplicarmos por 15 aumenta de 6 . A soma dos dígitos de N é:
a) 10
b) 11
c) 12 
d) 13
e) 14 

Gab B

Att

N = (3^a)(5^b)
número de divisores : x = (a+1)(b+1)
N' = 12(3^a)(5^b)
N' = (2²)(3^(a+1) )(5^b)
número de divisores : y = (2+1)(a+2)(b+1)
y = x + 21
3(a+2)(b+1) = (a+1)(b+1) + 21
3(ab + a +2b + 2) = (ab + a + b + 1) + 21
2ab + 2a + 5b = 16 (I)

N'' = 15(3^a)(5^b)
N'' = 3^(a+1) 5^(b+1)
número de divisores z = (a+2)(b+2)
z = x + 6
(a+2)(b+2) = (ab + a + b + 1) + 6
ab + 2a + 2b + 4 = ab + a + b + 1 + 6
a + b = 3 , a = 3-b (II) , substituindo em (I):

2(3-b)b + 2(3-b) +5b = 16
6b -2b² + 6 - 2b + 5b = 16
2b² -9b +10 = 0
b = 2 , a = 1
logo N = 3.5² = 75
7+5 = 12 , letra c (confira as contas e o gab..)

Perfeito Luck - Obrigado. O gabarito está errado.

att