Transformação de Radical Duplo

Relembrando a primeira mensagem :

Acho que vcs conhecem a fórmula de transformação de radical duplo



Ela parece complicar as coisas, mas para cálculo de números complexos ela sempre facilita! Gostaria de saber se alguém conhece uma fórmula semelhante para os dois casos abaixo





Eu até encontrei isto


Mas não é bem o que eu esperava...

Obg!

Nunca vi uma fórmula para a cúbica. Tente fazer o que coloquei na minha primeira resposta a este tópico. Te garanto que não conseguirá algo mais prático do que a substituição trigonométrica. Para aproximações você pode usar a série de taylor para a exponencial complexa, usando a notação de complexos na forma exponencial:
e^(i o)=cos(o) +i sen(o)  ===> (e^io)^1/n = cos(o/n)+isen(o/n)

Mas isso de pouco adiantará

Para ver a solução da quártica segue o linck: http://problemasteoremas.wordpress.com/2010/05/20/resolucao-da-equacao-do-4-%C2%BA-grau-ou-quartica/

Lembre-se de que o método de raphson-newton, relações de girard, e divisões fatorações simplificações polinomiais existem.

Mas no link que eu upei lá aí em cima...

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/547/qtrj.png/
fonte: http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros_complexos

Antes de se chegar ao resultado final, 4, é feita uma simplificação de radical duplo de índice três. Viu?

Sobre o link que vc me passou para a resolução da eq de quarto grau, nem curti essa explicação...

Acredito que se refira a:
Rafael Bombelli experimentou escrever as expressões:
 e 
na forma:
 e 
Bem, eu acredito que seja assim(sem usar trigonometria):
Vamos Fazer para o caso 1()  Simplificando:



elevando ambos os lados ao cubo:




O fato agora é que não precisamos ter uma fórmula especial. Para igualdade de números complexos vale a igualdade:


A+iB=C+iD  <==> A=C e B=D


Para o caso em questão:






Caso tenha dificuldades para resolver este sistema faça b^1/2=c, da segunda vem:




A solução deste sistema é a resposta para questão e para a formulação para o caso geral. Se você chutar a=2 e b=1, chegamos à resposta como no wikipédia:



Um fato considerávelmente importante para chegar a esse resultado é que 121=11^2, é um quadrado perfeito, o que não é admissível para o caso de radicais duplos e quadrados.
mas agora incentivado ao caso geral:


Nosso problema é achar C e D em função de A e B. Para formalizar um pouco mais, essa forma é consideravelmente boa devida a análise em forma polar da expressão(usando trigonometria), mas como queremos o caso geral:




Se raiz de B é irracional,(nas formulas acima interprete B como raiz de B) E consequentemente também será, assim da parte A(racional)=C^3-3E^2C(Irracional), corre que C é irracional satisfazendo à condição de diferença. Esse é o caso complicado. Para o caso com B quadrado perfeito(agora interprete B nas fórmulas acima como a raiz), temos um B inteiro portanto temos que resolver o sistema. Em muitos casos fica fácil achar numericamente mas para um caso geral você usa tartaglia. Observe que:






Sabemos que o módulo do número original é p=A^2+B, Assim:
C^2+E=A^2+B^2
O que pode ajudar.


Por fim Bombelli , deduziu essas expressões quando os números complexos ainda eram primitivos, na verdade ele iniciou os seus estudos. Não vejo porque recorrer a forma trigonométrica seja são ruim e acredito que seja de longe o melhor método.
Resolver esse sistemas para obter uma equação geral seria cair novamente em um fórmula com radicais duplos de raiz cúbica. Para o caso de raiz quarta(ou mútipla de 2) basta aplicar os teoremas já conhecidos o número de vezes necessárias(Sendo sempre A racional).