Combinatória com geometria

Considere um polígono de 18 lados, inscrito em uma circunferência. Formam-se triângulos ligando-se 3 dos 18 vértices. Quantos deles são triângulos retângulos?

R:144

Basta que usemos o conceito de potência de ponto.

Para termos um triângulo retângulo, a hipotenusa tem que ser um diâmetro e o vértice oposto da hipotenusa tem que ser um vértice do polígono.

 Temos que contar o número de retas que passam pelo centro e multiplicar por 18 - 2(porque cada reta pode se corresponder com outro ponto do polígono menos os dois pontos que formam essa reta).

Cada ponto só se corresponde com um único outro ponto para formar uma reta que passa pelo centro. Isso quer dizer que, se temos três pontos a, b e c, e temos uma reta ab que passa pelo centro, a reta ac ou bc não passará pelo centro.


Temos então 18/2 = 9 retas que passam pelo centro.

9*(18 - 2) = 144