Olímpiada Russa - Quantidade de movimento

Um dispositivo lança horizontalmente em regime permanente 200 pequenas esferas por segundo sobre o prato esquerdo de uma balança de travessão de braços iguais. As esferas colidem com esse prato e se elevam a uma altura máxima h = 0,2m, igual à da boca do dispositivo lançador.

Para manter o travessão em equilíbrio na horizontal, coloca-se sobre o prato direito da balança um bloco de massa M. Supondo-se que cada esfera tenha massa m = 0,5.10^-3kg, que a aceleração da gravidade tenha módulo 10 m/s² e que todos os atritos e a resistência do ar sejam desprezíveis, determine:

a) O módulo da variação da quantidade de movimento de cada esfera, em kg.m/s, em virtude da colisão com o prato da balança;

b) O valor da massa M, em kg.

No momento da colisão o prato da balança está na horizontal, a força impulsiva sobre a esfera é a normal que é perpendicular ao prato, portanto só ocorrerá variação na quantidade de movimento na direção vertical.
Velocidade da esfera imediatamente antes da colisão:

mgh=mv²/2
v²=2gh
v²=2*10*0,2
v²=4
v=2 m/s

a altura máxima alcançada depois da colisão é igual a altura alcançada depois, então concluímos que a velocidade antes da colisão é igual a velocidade depois da colisão com o sinal trocado.

Qf-Qi = mVf-(-mVi) = 2*0,5-(-2*0,5) = 1 + 1 = 2 g*m/s

Na letra B, encontrei uma certa equivalência entre o impulso que as esferas fazem no prato com uma massa. Essa massa se parada teria o mesmo efeito sobre o prato. Algo parecido com o que reportagens fazem: “ uma massa de 5 Kg caindo de um predio ao se chocar com o solo causa impacto de meia tonelada”, por exemplo. Assim:

F*deltaT= deltaQ, sendo F, a força (ou peso) dessa massa equivalente.

Meq*g*deltaT=deltaQ

Meq*10*1=200*2*10^-3 (repare que usei o resultado encontrado na letra A , da variacao da quantidade de movimento de cada esfera)

Meq=40g

Porém, se pararmos pra pensar, desconsiderando o tempo de choque, sempre haverá exatamente 200 esferas no prato da esquerda se colidindo . Dessa forma além de uma massa fictícia criada pra substituir o impulso causado pelo choque das esferas, existe o peso de 200 esferas, dado por:

P= 200*10*0,5*10^-3= 100g

Assim, a massa do bloco no prato da direita deve equilibrar
100+40 gramas

Portanto M= 140g

Na letra B, encontrei uma certa equivalência entre o impulso que as esferas fazem no prato com uma massa. Essa massa se parada teria o mesmo efeito sobre o prato. Algo parecido com o que reportagens fazem: “ uma massa de 5 Kg caindo de um predio ao se chocar com o solo causa impacto de meia tonelada”, por exemplo. Assim:

F*deltaT= deltaQ, sendo F, a força (ou peso) dessa massa equivalente.

Meq*g*deltaT=deltaQ

Meq*10*1=200*2*10^-3 (repare que usei o resultado encontrado na letra A , da variacao da quantidade de movimento de cada esfera)

Meq=40g

Porém, se pararmos pra pensar, desconsiderando o tempo de choque, sempre haverá exatamente 200 esferas no prato da esquerda se colidindo . Dessa forma além de uma massa fictícia criada pra substituir o impulso causado pelo choque das esferas, existe o peso de 200 esferas, dado por:

P= 200*10*0,5*10^-3= 100g

Assim, a massa do bloco no prato da direita deve equilibrar
100+40 gramas

Portanto M= 140g