Olímpiada Russa

Escrevem-se os inteiros de 1 até 222.222. Quantas vezes o algarismo zero é escrito ?

Spoiler:

sera q por analise combinatoria nao da pra resolver ?eu tentei aqui de 1 a 999.999 , da trabalho... vc tentou como ?

vo fazer um pouco , vc tenta continuar ate pq eu n consegui e to meio q sem tempo de tentar

seja abcdef os algarismo de qualquer numero entre 1 e 999.999

seja f = 0 , sabendo que temos 10 algarismos de 0 a 9 , entao teremos 9 possibilidades para a , b , c ....

9.9.9.9.9.1 = 9^5 numeros , com 0 na casa das unidades , porem podemos ter 1 zero na dezena , centena... e por ai vai

entao temos que multiplicar 9^5 por C6,1

entao a quantidade de numeros com a penas 1 zero sera

6.9^5

faremos agora os numeros com 2 zeros

seja e = 0 e f = 0

assim...

9.9.9.9.1.1 = 9^4

porem agora vc tera numeros com 2 zeros , entao temos que multiplicar por 2 e por C6,2
entao numeros com quantidade de 2 zeros sera

9^4.2.C6,2

seja d = 0, e = 0 , f = 0
entao

9.9.9.1.1.1 = 9^3

quantidade de zeros sera

3.9^3.C6,3

e assim vai .... até o 5 ja que 6 zeros nao atendera pois
000000 = 0 e nao pertencera ao intervalo

porem esse intervalo q eu to fazendo eh entre 1 e 999.999

n sei como faz de 1 a 222.222 , deve ser por esse caminho , porem com 1 pouco mais de trabalho

espero que isso lhe sirva para alguma coisa ^^

Mas Paulo porque você multiplicou 22222 por 10 , 2222x100 e assim sucessivamente??

tbm to com duvida na resoluçao , qual seria a logica desse macete paulo ?

Demorei para compreender, mas após um tempo pensando entendi o que o Paulo fez. Primeiramente podemos contar todos os números terminados em zero nas unidades. Ou seja, nas unidades, só teríamos uma possibilidade. Percebam que para o resto do número podemos ter desde o número 1(formando com o zero o número dez) até o número 22222(formando com o zero o número 222220(Um número maior que o 22222, como o 22223, ao se juntar com o zero formaria um número maior que o 222.222, por isso o resto do número só pode ir até 22222)). Considerando esse"resto" do número como um só digito, podemos dizer que há 22222 possibilidades para ele(22222-1+1(tanto o 1 como o 22222 estão incluídos)). Isso multiplicado pelo número de possibilidades para a casa das unidades daria 22222X1=22222
Depois poderíamos considerar todos os números com o zero na casa das dezenas. Percebam então que teríamos dez possibilidades de números para a casa das unidades, uma para das dezenas e para o "resto" do número teríamos desde o 1(formando o número10x(sendo o x um número de 0 a 9) até o número 2222(formando o número 22220x). Logo teríamos para o "resto" do número 2222 possibilidades. Isso, multiplicado pelas possibilidades da casa das dezenas(1) e pelas possibilidades da casa das unidades(10) é igual a 22220 possibilidades.
Fazendo este mesmo processo até a casa das dezenas de milhar, teríamos:
Para o zero nas unidades: 22222 opções
Para o zero nas dezenas: 22220 opções
Para o zero nas centenas: 22200 opções
Para o zero nas unidades de milhar: 22000 opções
Para o zero nas dezenas de milhar: 20000 opções
Somando tudo teríamos como resposta o número 108.642

Boa tarde. Vejo que estou chegando com um pequeno atraso para a discussão (hahahaha). Uma duvida. Quando contamos o 0 na casa das unidades(22.222) e depois consideramos 10 possibilidades para as unidades quando temos um zero posicionado nas dezenas, nao estamos sendo redundantes e contando duas vezes pois por exemplo: 123.400 esta sendo computado em ambos os casos certo?? Pois o 1234 está entre 1 e 2222 e o 12.340 está entre 1 e o 22.222. Alguém poderia, por favor, me esclarecer nessa colocação e me corrigir caso eu esteja errado??? Muito obrigado desde já.