(Olimpíada Russa) Numeração

por Avicena Qui 04 Fev 2021, 17:13

Qual é o 200º número da sequência 1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,...?

Minha tentativa:

Gabarito:

por fernandalnh Sáb 06 Fev 2021, 20:37

Olá, Avicena! A resolução dessa questão é parecidíssima com a do dígito central.
Primeiro, uma correção: acredito que o comando estava pedindo o algarismo, não o número na 200º posição.
Para descobrir o algarismo nessa posição, decidi tirar o primeiro 1 e acrescenta-lo no final. Ficou assim:
112131...9 -> 9 algarismos + 8 números um= 17 algarismos
...120111...20 -> 11 números com 2 algarismos + 11 números um= 33
...121122...30 -> 10 números com 2 algarismos + 10 números um= 30 (do 121 até o 199, esse será o padrão).
dica: para achar de uma forma rápida, você poderia ter feito 20-10=10+1= 11 números, logo 10 intervalos + 1 número um na frente= 11.2+11= 33. Para descobrir isso e do padrão até 30, eu escrevi tudo, mas essa é uma forma de fazer para quem conseguir imaginar tudo.
Assim, somando tudo, chego que, até o número 30, há 80 algarismos.
Somando com 120 (40 números), chego em 200 algarismos e no número 70 (o 0 é o algarismo nessa posição). Entretanto, lembra que eu subtraí um 1 lá do início? Então, agora reduzo um de 200 e chego no real 200º que ainda está no número 70, mas agora representa a posição do 7.
Me avise se algo ficar confuso!

por Avicena Sáb 06 Fev 2021, 20:59

A partir de 8 números 1 eu fiquei confuso. Não entendi muito bem a resolução.

por fernandalnh Dom 07 Fev 2021, 07:43

Bom dia!
O que eu fiz foi contar quantos algarismos têm até o número 30 para ver se encontrava algum padrão. Para isso, eu percebi que a quantidade de números entre 10-20, por exemplo, é igual à quantidade de números um.
Tente você mesmo escrever 11213141...30 e perceba que de 21-30, 31-40... 81-90 há 30 algarismos em cada intervalo. Eu sei que é trabalhoso, mas foi o único jeito que consegui fazer.
Depois, é só ir somando os algarismos e atentar em qual número irá parar: 17 (algarismos 1112131...9)+33 (algarismos 110111...20)+30 (algarismos 121122...30) + 120 (131...70)= 200 algarismos (70).
No entanto, eu fiz tudo isso excluindo o 1 do início, portanto agora vou voltar todos os algarismos e ficar na posição "199º" em relação à sequência que eu estava usando, mas é o 200º verdadeiro. Assim, volta um algarismo e vai parar no 7 do 70.