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(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria

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Mensagem por Nat' Seg 20 Ago 2012, 09:29

Olá pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Encontre o valor de x:

(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria Gif

Resp. Infelizmente não tem

Obrigada! ^^
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Mensagem por PedroX Sex 14 Set 2012, 23:02

sen8x + cos8x = 17/32

sen²x + cos²x = 1
(sen²x + cos²x)^4 = 1

Depois de certo tempo você chega a:
sen8x + 2.sen6x.cos²x + sen4x.cos4x + 2.sen6x.cos²x + 4.sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x + sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x + cos8x = 1

Juntando alguns:
sen8x + cos8x + 4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 1

Lembre que temos o valor inicial:
17/32 + 4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 32/32

Agora temos que:
4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 15/32

2.sen6x.cos²x + 3.sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x = 15/64

Daqui em diante espero que outros continuem, ou não (sempre tem alguém fazendo de forma mais fácil).

Até!
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Mensagem por Robson Jr. Sab 15 Set 2012, 00:33

game_maker, inspirado na sua coragem eu tentarei resolver o problema. Smile



Podemos escrever a expressão entre colchetes de uma forma mais interessante. Afinal:



Aplicando:



Fazendo a mudança de variável sen²(x).cos²(x) = t:



Bem melhor, né? Resolvendo a equação:



Se t = 15/8



O seno estaria fora do intervalo [-1, 1], não havendo solução.

Se t = 1/8:



Meia hora digitando isso... cheers
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Mensagem por piedade_thiago Sab 15 Set 2012, 10:24

tentei ver de outra forma aqui, mas parei no meio do caminho. Se alguém puder continuar:


(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria Moscow


Daqui pra frente não melhorei muita coisa

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Mensagem por Robson Jr. Sab 15 Set 2012, 10:52



Como enxergar essa fatoração: uma folha inteira de rabiscos e um pouco de sorte.
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Mensagem por danjr5 Sab 15 Set 2012, 20:20

Fiz assim:



De temos:



Segue que:








Quando :






Quando :








Calculando o valor de x:



1h14min digitando.
rsrsrss


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Mensagem por PedroX Sab 15 Set 2012, 20:27

Depois dessa você merecia um prêmio em dinheiro. Very Happy
Parabéns a todos, crânios.


Última edição por game_maker em Sab 15 Set 2012, 21:30, editado 1 vez(es)
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Mensagem por Robson Jr. Sab 15 Set 2012, 20:53

Altos tempos de resolução. E tem gente que considera 4 horas muito para uma prova olímpica de 3 questôes...


A resposta do danjr5 ficou completinha. Não faltaram casos na minha, né? Smile
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Mensagem por PedroX Sab 15 Set 2012, 21:31

Eu acabei me esquecendo de ver as outras soluções, porque fui direto na última mensagem.

Três horas é pouco para a segunda fase da OBMEP, Very Happy.
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Mensagem por Nat' Dom 16 Set 2012, 16:31

Muito obrigada a todos pela ajuda! Very Happy Very Happy Very Happy
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