(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria

por Nat' Seg 20 Ago 2012, 09:29

Olá pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa?

Encontre o valor de x:

$(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria Gif$

Resp. Infelizmente não tem

Obrigada! ^^

por **PedroX** Sex 14 Set 2012, 23:02

sen8x + cos8x = 17/32

sen²x + cos²x = 1
(sen²x + cos²x)^4 = 1

Depois de certo tempo você chega a:
sen8x + 2.sen6x.cos²x + sen4x.cos4x + 2.sen6x.cos²x + 4.sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x + sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x + cos8x = 1

Juntando alguns:
sen8x + cos8x + 4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 1

Lembre que temos o valor inicial:
17/32 + 4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 32/32

Agora temos que:
4.sen6x.cos²x + 6.sen4x.cos4x + 4.sen²x.cos6x = 15/32

2.sen6x.cos²x + 3.sen4x.cos4x + 2.sen²x.cos6x = 15/64

Daqui em diante espero que outros continuem, ou não (sempre tem alguém fazendo de forma mais fácil).

Até!

por **Robson Jr.** Sáb 15 Set 2012, 00:33

game_maker, inspirado na sua coragem eu tentarei resolver o problema. Smile

$\small (sen^2(x)+cos^2(x))^4=1 \\\\ \Rightarrow \ sen^8(x)+4.sen^6(x).cos^2(x)+6.sen^4(x).cos^4(x)+4.sen^2(x).cos^6(x)+cos^8(x)=1 \\\\ \Rightarrow \ sen^8(x)+cos^8(x)+4sen^2(x)cos^2(x)[sen^4(x)+cos^4(x)]+6.(sen^2(x)cos^2(x))^2=1$

Podemos escrever a expressão entre colchetes de uma forma mais interessante. Afinal:

$\small (sen^2(x)+cos^2(x))^2=1 \Rightarrow sen^4(x)+cos^4(x)=1-2sen^2(x)cos^2(x)$

Aplicando:

$\small \\\\ sen^8(x)+cos^8(x)+4sen^2(x)cos^2(x)[1-2sen^2(x)cos^2(x)]+6.(sen^2(x)cos^2(x))^2=1$

Fazendo a mudança de variável sen²(x).cos²(x) = t:

$\small sen^8(x)+cos^8(x)+4t(1-2t)+6t^2=1 \\\\ \Rightarrow \frac{17}{32}+4t-8t^2+6t^2=1 \\\\ \Rightarrow t^2-2t+\frac{15}{64}=0$

Bem melhor, né? Resolvendo a equação:

$\small t=\frac{2\pm \sqrt{4-4.\frac{15}{64}}}{2} \Rightarrow t=1\pm\sqrt{\frac{49}{64}} \Rightarrow t=\frac{1}{8} \text{ ou }t=\frac{15}{8}$

Se t = 15/8

$\small \\ (sen(x).cos(x))^2=\frac{15}{8} \Rightarrow \ \left ( \frac{sen(2x)}{2} \right )^2=\frac{15}{8} \Rightarrow \ sen(2x)=\pm \sqrt{\frac{15}{8}}$

O seno estaria fora do intervalo [-1, 1], não havendo solução.

Se t = 1/8:

$\small \\ (sen(x).cos(x))^2=\frac{1}{8} \Rightarrow \ \left ( \frac{sen(2x)}{2} \right )^2=\frac{1}{8} \Rightarrow \ sen(2x)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}=sen\left ( \pm\frac{\pi}{4} \right ) \\\\ a) \ 2x=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi \Rightarrow {\color{Red} x=\pm\frac{\pi}{8}+k\pi; \ k \in \mathbb{Z}} \\\\ b) \ 2x\pm\frac{\pi}{4}=(2k+1)\pi \Rightarrow {\color{Red} x=\pm\frac{\pi}{8}+(2k+1)\frac{\pi}{2}; \ k \in \mathbb{Z}}$

Meia hora digitando isso... cheers

por piedade_thiago Sáb 15 Set 2012, 10:24

tentei ver de outra forma aqui, mas parei no meio do caminho. Se alguém puder continuar:

(OLIMPÍADA - RUSSA) Determinante + trigonometria Moscow

Daqui pra frente não melhorei muita coisa

por **Robson Jr.** Sáb 15 Set 2012, 10:52

$\small \\ 2t^4-4t^3+6t^2-4t+\frac{15}{32}=0 \\\\ 64t^4-128t^3+192t^2-128t+15=0 \\\\ (8t^2-8t+1)(8t^2-8t+15)=0$

Como enxergar essa fatoração: uma folha inteira de rabiscos e um pouco de sorte.

por danjr5 Sáb 15 Set 2012, 20:20

Fiz assim:

$sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32}$

De $sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1$ temos:

$\begin{cases} sen^8 \, x + cos^8 \, x = \frac{17}{32} \\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \end{cases}$

Segue que:

$\\ (sen^2 \, x + cos^2 \, x)^2 = 1^2 \\\\ sen^4 \, x + 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + cos^4 \, x = 1 \\\\ (sen^4 \, x + cos^4 \, x)^2 = (1 - 2 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x)^2 \\\\ sen^8 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 4 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x = \\\\ sen^8 \, x + cos^8 \, x = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ \frac{17}{32} = 1 - 4 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 2 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x \\\\ 64 \cdot sen^4 \, x \cdot cos^4 \, x - 128 \cdot sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\$

$\\ \Delta = 12.544 \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{128 \pm 112}{128} \\\\\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{15}{8}} \\\\ sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \boxed{\frac{1}{8}}\end{cases}$

Quando $\boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8}}$ :

$\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{15}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 15 = 0 \\\\ \boxed{\Delta < 0}$

Quando $\boxed{sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8}}$ :

$\\ \begin{cases} sen^2 \, x \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ sen^2 \, x + cos^2 \, x = 1 \Rightarrow sen^2 \, x = 1 - cos^2 \, x \end{cases} \\\\\\ (1 - cos^2 \, x) \cdot cos^2 \, x = \frac{1}{8} \\\\ 8 \cdot cos^4 \, x - 8 \cdot cos^2 \, x + 1 = 0 \\\\ \Delta = 32 \\\\ cos^2 \, x = \frac{8 \pm 4\sqrt{2}}{16}$

$\\ \begin{cases} cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \\\\ cos^2 \, x = \boxed{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}} \Rightarrow cos \, x = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\end{cases}$

Calculando o valor de x:

$\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 23^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 157^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left ( \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 68^o \\\\ \bullet \,\,\, cos \, x = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{x = arc \,\, cos \left (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2} \right )}} \Rightarrow x \approx 112^o$

1h14min digitando.
rsrsrss

por **PedroX** Sáb 15 Set 2012, 20:27

Depois dessa você merecia um prêmio em dinheiro. Very Happy

Parabéns a todos, crânios.

por **Robson Jr.** Sáb 15 Set 2012, 20:53

Altos tempos de resolução. E tem gente que considera 4 horas muito para uma prova olímpica de 3 questôes...

A resposta do danjr5 ficou completinha. Não faltaram casos na minha, né? Smile