(OLÍMPIADA RUSSA) Determinante

por Nat' Seg 20 Ago 2012, 09:34

Olá pessoal!

Alguém pode me ajudar com essa questão?

Encontre o valor de x:

$(OLÍMPIADA RUSSA) Determinante Gif$

Resp. Infelizmente não tem

Obrigada! ^^

por **Robson Jr.** Seg 20 Ago 2012, 15:20

Começarei deduzindo uma expressão para cos(6x). Sejam as identidades:

$\small \\ a) \ cos(2x)=cos^2(x)-sen^2(x)\\ b) \ cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x) \\ c) \ sen(3x)=3sen(x)-4sen^2(x)$

Substituindo b) e c) em a):

$\small cos(6x)=16.cos^6(x)-16.sen^6(x)+24sen^4(x)-24cos^4(x)+9cos^2(x)-9sen^2(x)$

Efetuando o determinante e substituindo cos(6x):

$\small 32cos^6(x)-cos(6x)=1 \\ \Leftrightarrow \ 16[cos^6(x)+sen^6(x)]+24[cos^4(x))-sen^4(x)]-9[cos^2(x)-sen^2(x)] \\$

Vamos tentar escrever as expressões entre colchetes em função de uma única incógnita:

$\small \\ \rightarrow cos^2(x)-sen^2(x)=cos(2x) \\\\ \rightarrow cos^4(x)-sen^4(x)=(cos^2(x)+sen^2(x))(cos^2(x)-sen^2(x))=cos(2x)$

$\small \\ \rightarrow cos^6(x)+sen^6(x)\\=(cos^2(x)+sen^2(x))(cos^4(x)+sen^2(x).cos^2(x)+sen^4(x))\\ =[cos^2(x)+sen^2(x)]^2-[sen(x).cos(x)]^2 \\ =1-\frac{sen^2(2x)}{4} =1-\frac{1-cos^2(2x)}{4} =\frac{3+cos^2(2x)}{4}$

Substituindo as três simplificações na equação:

$\small 4cos^2(2x)+15.cos(2x)+11=0 \Leftrightarrow cos(2x)=-1 \text{ ou }cos(2x)=-\frac{11}{4} \text{ (impossível)}$

Resolvendo a única relação possível:

$\small \\ cos(2x)=-1 \Leftrightarrow 2x=\pi+2k\pi \Leftrightarrow {\color{Red} {\color{Red} x=\frac{\pi}{2}+k\pi}, \ k \in \mathbb{Z}}$