Olímpiada Russa

por theblackmamba Qua Mar 07 2012, 18:56

Demonstre que:

$\frac{sen20^{\circ}}{1-2sen10^{\circ} - 2sen^2 10^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

por rihan Qua Mar 07 2012, 20:31

Tem algo errado :scratch:...

Confere aí...

por theblackmamba Qua Mar 07 2012, 21:29

Olá rihan,
Desculpe... No denominador era sen10º e não sen20º...Mas agora já arrumei

por rihan Qua Mar 07 2012, 21:49

Ahhh

Agora Vamos Lá !

Vou Tentar...

por rihan Qua Mar 07 2012, 22:51

theblackmamba escreveu:Demonstre que:

$Olímpiada Russa Gif$

= tg(30°) = sen(30°)/cos(30°)

==>

sen(20).cos(30) = sen(30) -2sen(10).sen(30) - 2sen²(10).sen(30)

cos(70).cos(30) = 1/2 - sen(10) - sen²(10)

2cos(70).cos(30) = 1 - 2sen²(10) - 2sen(10)

2cos(70).cos(30) = cos(20) - 2cos(80)

cos(70+30) + cos(70-30) = cos(20) - 2cos(80)

cos(100) + cos(40) = cos(20) -2cos(80)

sen(-10) + cos(40) = cos(20) -2cos(80)

-sen(10) + cos(40) = cos(20) -2cos(80)

-cos(80) + cos(40) = cos(20) -2cos(80)

cos(80) = cos(20) - cos(40)

(1/2).cos(80) = (1/2)(cos(20) - cos(40))

cos(60).cos(80) = (1/2)(cos(20) - cos(40))

(1/2) ( cos(140) + cos(20) ) = (1/2)( cos(20) - cos(40) )

(1/2) (-cos(40) + cos(20) ) = (1/2)( cos(20) - cos(40) )

(1/2)( cos(20) - cos(40) ) = (1/2)( cos(20) - cos(40) ) ■

por **luiseduardo** Qui Mar 08 2012, 00:22

Outra forma:

Sabemos que: 1 - 2.sen²x = cos 2x, então, 1 - 2.sen²10 = cos20.

Assim, podemos escrever no denominador: cos 20 - 2.sen 10.sen 90

cos 20 - 2.sen 10.sen 90 = cos 20 + cos 100 - cos 80.

Entretanto sabemos que: cos 80 = cos 20 - cos 40

Logo:

cos20 + cos100 - cos 20 + cos40 = cos 100 + cos 40 = 2.cos70.cos 30

Mas, lembre-se que: cos 70 = sen 20. Então, ficou fácil ver que:

(sen 20)/(2.cos70.cos30) = (sen 20)/(2.sen 20.cos30) = 1/2.cos 30 = V3/3.

Wink

por rihan Qui Mar 08 2012, 02:48

Equações Trigonométricas é como "Neston": 1001 formas de fazer Very Happy

!

Fui fazendo. Está ilegível... Está horrível !

Queria usar os dois lados da identidade, que, às vezes, é mais produtivo, apesar de ser uma forma esquecida pelos autores...

Para quem já sabe que:

cos(80) = cos(20) - cos(40)

E outras "cositas más", fica mais rápido ainda...

Eu, agora, vi uma forma legal e rapidinha de resolver Very Happy

!

Depois eu mando !

E Vamos Lá !

por **Bruna Barreto** Qui Mar 08 2012, 10:00

luiseduardo escreveu:Outra forma:

Sabemos que: 1 - 2.sen²x = cos 2x, então, 1 - 2.sen²10 = cos20.

Assim, podemos escrever no denominador: cos 20 - 2.sen 10.sen 90

cos 20 - 2.sen 10.sen 90 = cos 20 + cos 100 - cos 80.

Entretanto sabemos que: cos 80 = cos 20 - cos 40

Logo:

cos20 + cos100 - cos 20 + cos40 = cos 100 + cos 40 = 2.cos70.cos 30

Mas, lembre-se que: cos 70 = sen 20. Então, ficou fácil ver que:

(sen 20)/(2.cos70.cos30) = (sen 20)/(2.sen 20.cos30) = 1/2.cos 30 = V3/3.