Equação do segundo grau

Para quais valores de k a equação x = k²(x-1)(x-2) tem raízes reais?

a) Qualquer valor
b) Nenhum valor
c) 1< k < 2
d) k < 1 ou k > 2
e) -2√2 < k < 2√2


R: A
Pensei no seguinte:

x = k²(x-1)(x-2)

k²(x-1)(x-2) = ax² + bx + c

k² = a
x' = 1
x'' = 2

x' + x'' = -b/a = 3 => -b/k² = 3 => -b = 3k² => b = -3k²
x' . x'' = c/a = 2 => c/k² = 2 => c = 2k²

x = k²x² -3k²x + 2k²

0 = k²x² -3k²x - x + 2k²

0 = k²x² + x(-3k² -1) + 2k²

a= k²
b= (-3k² - 1)
c= 2k²

E pra serem raízes reais ∆ > 0
então:

b² - 4ac > 0
(-3k² -1)² - 4(k²)(2k²) = 0
9k^4 + 6k² + 1 - 8k^4 = 0
k^4 + 6k² + 1 = 0

k² = y

y² + 6y + 1 = 0

a = 1
b = 6
c = 1

∆ = b² - 4ac = 36 - 4.1.1 = 32 = (4√2)²

y = -6±(4√2)/2

y = -3±2√2

-3 + 2√2 = k²

k = ± √(-3 + 2√2)

- 3 -2√2 = k² impossível

então k = ± √(-3 + 2√2)

k^4 + 6k² + 1 = 0

fatorando: [k² - √(-3 + 2√2)][k² + √(-3 + 2√2)]

k² - √(-3 + 2√2) = 0

*(^4√) = raiz quarta

k = ± ^4√(-3 + 2√2)

k² + √(-3 + 2√2) = 0 impossível

fazendo o estudo do sinal: k < - ^4√(-3 + 2√2) ou k > ^4√(-3 + 2√2)

Logo, para qualquer k as raízes serão reais.

Mas por que vcs ignoraram o x do lado esquerdo? Ele também faz parte da equação..
x = k²(x-1)(x-2)
x = (k²x - k²)(x-2)
x = k²x² -2k²x - k²x + 2k²
k²x² - 3k²x + 2k² - x = 0
k²x² -(3k²+1)x + 2k² = 0
∆ = (3k²+1)² - 4k².(2k²)
∆ = 9k^4 + 6k² + 1 - 8k^4
∆ = k^4 + 6k² + 1
k^4 + 6k² +1 é sempre maior que 0, ∆ > 0, logo para qualquer k tem raízes reais.

Mas por que vcs ignoraram o x do lado esquerdo? Ele também faz parte da equação..

Esse "x" foi ninja! não vi mesmo.