114 - Prove que
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114 - Prove que
por Schulz Qua 27 Fev 2013, 09:37
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Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja 1/k (constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
Eu estou confuso: uma das maneira de expressar isto seria (1/x)+(1/y) = (1/k), o que em qualquer manipulação me leva a hipérboles...
Há uma solução complicadíssima que me deram uma vez, onde se concluí que y = k, mas isto não me convence pois aí x = 0 na interpretação acima e então y = 0, ou seja, a reta em questão passaria pela origem (y = x ou y = -x), mas aí ela rotando, não determinaria segmentos sobre os eixos...
Alguém aí pode me dar uma luz!?
Saudações
Schulz
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Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja 1/k (constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.
Eu estou confuso: uma das maneira de expressar isto seria (1/x)+(1/y) = (1/k), o que em qualquer manipulação me leva a hipérboles...
Há uma solução complicadíssima que me deram uma vez, onde se concluí que y = k, mas isto não me convence pois aí x = 0 na interpretação acima e então y = 0, ou seja, a reta em questão passaria pela origem (y = x ou y = -x), mas aí ela rotando, não determinaria segmentos sobre os eixos...
Alguém aí pode me dar uma luz!?
Saudações
Schulz
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Re: 114 - Prove que
por xjohnx Qua 28 Ago 2013, 10:02
x/p + y/q = 1 por hipótese 1/p + 1/q = 1/k m.m.c = pqk
qk + pk = pq = > qk - pq = pk => (isolando o q) q (p - k) = pk => q = pk/p - k
--------------------------------------------------------------------
pelo que sei é por aqui, e apenas sei que tem que pegar esse valor de "q" e substituir
qk + pk = pq = > qk - pq = pk => (isolando o q) q (p - k) = pk => q = pk/p - k
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pelo que sei é por aqui, e apenas sei que tem que pegar esse valor de "q" e substituir
xjohnx- Iniciante
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Schulz- Iniciante
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Re: 114 - Prove que
por xjohnx Ter 03 Set 2013, 22:12
Continuando....
substituindo o valor de q na equação temos...
x/p + y/q = 1 => x/p + y/pk/p - k = 1 => x/p + y(p - k)/pk = 1
se p = 1 temos: x + y(1 - k)/k = 1
se p = 2 temos x/2 + y(2 - k)/2k = 1
multiplicando por -1/2 a primeira temos: -x/2 - y(2 - k)/2k = -1/2
Agora vamos somar as duas
1ª-x/2 - y(2 - k)/2k = -1/2
2ªx/2 + y(2 - k)/2k = 1
Temos que:
- y(1 - k)/2k + y(2 - k)/2k = 1/2 => resolvendo tudo chega a y = k
Agora vamos substituir o valor de "y" na segunda para para achar "x"
x/2 + y(2 - k)/2k = 1 => x/2 + k(2 - k)/2k = 1 => kx - k² = 0 => k(x - k) = 0
k=0 => x - k = 0 => x = k
Logo P = (k, k)
substituindo o valor de q na equação temos...
x/p + y/q = 1 => x/p + y/pk/p - k = 1 => x/p + y(p - k)/pk = 1
se p = 1 temos: x + y(1 - k)/k = 1
se p = 2 temos x/2 + y(2 - k)/2k = 1
multiplicando por -1/2 a primeira temos: -x/2 - y(2 - k)/2k = -1/2
Agora vamos somar as duas
1ª
2ª
Temos que:
- y(1 - k)/2k + y(2 - k)/2k = 1/2 => resolvendo tudo chega a y = k
Agora vamos substituir o valor de "y" na segunda para para achar "x"
x/2 + y(2 - k)/2k = 1 => x/2 + k(2 - k)/2k = 1 => kx - k² = 0 => k(x - k) = 0
k=0 => x - k = 0 => x = k
Logo P = (k, k)
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