114 - Prove que

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Prove que, se uma reta se desloca de modo que a soma dos inversos das medidas dos segmentos por ela determinados sobre os eixos seja 1/k (constante), então a reta passa por um ponto fixo P do plano cartesiano.

Eu estou confuso: uma das maneira de expressar isto seria (1/x)+(1/y) = (1/k), o que em qualquer manipulação me leva a hipérboles...

Há uma solução complicadíssima que me deram uma vez, onde se concluí que y = k, mas isto não me convence pois aí x = 0 na interpretação acima e então y = 0, ou seja, a reta em questão passaria pela origem (y = x ou y = -x), mas aí ela rotando, não determinaria segmentos sobre os eixos...

Alguém aí pode me dar uma luz!?

Saudações

Schulz

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x/p + y/q = 1 por hipótese 1/p + 1/q = 1/k  m.m.c = pqk

qk + pk = pq = > qk - pq = pk => (isolando o q) q (p - k) = pk => q = pk/p - k




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pelo que sei é por aqui, e apenas sei que tem que pegar esse valor de "q" e substituir

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Obrigado,

vou tentar eladorar

sds

Schulz

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Continuando....

substituindo o valor de q na equação temos...

x/p + y/q = 1 => x/p + y/pk/p - k = 1 => x/p + y(p - k)/pk = 1

se p = 1 temos: x + y(1 - k)/k = 1
se p = 2 temos x/2 + y(2 - k)/2k = 1

multiplicando por -1/2 a primeira temos:  -x/2 - y(2 - k)/2k = -1/2

Agora vamos somar as duas

1ª  -x/2 - y(2 - k)/2k = -1/2
2ª   x/2 + y(2 - k)/2k = 1

Temos que:

- y(1 - k)/2k + y(2 - k)/2k = 1/2 => resolvendo tudo chega a y = k

Agora vamos substituir o valor de "y" na segunda para para achar "x"

x/2 + y(2 - k)/2k = 1 => x/2 + k(2 - k)/2k = 1 => kx - k² = 0 => k(x - k) = 0

k=0            =>             x - k = 0 => x = k

Logo P = (k, k)