Prove que ...

Dado que (a-2)³+(b-2)³+(c-2)³=0 , a²+b²+c²=6, a+b+c=2, prove que ao menos um dos números a,b,c é 2.

Tentei fazer da seguinte forma: 1- desenvolvi o polinômio que dá 0, ai achei que a³+b³+c³=36
a³+b³+c³-36=0
a³+b³+c³-3.(12)=0
isso é semelhante com a fatoração x³+y³+z³-3xyz
Dai eu deduzi que xyz=12, porém, não sei como está certo e como poderia dizer que um dos números é 2, já q são 3.

O enunciado não diz a natureza dos números, e também não bate, verifique se os valores são esses mesmos:
Partindo de onde vc chegou a³ + b³ +c³ -36 = 0
'isso é semelhante com a fatoração x³+y³+z³-3xyz ... Dai eu deduzi que xyz=12'
vc não pode dizer que xyz = 12 , x³ + y³ + z³ = 3xyz só é válido se x+y+z = 0 , que não é o caso.
a³ + b³ + c³ -3abc = (a+b+c)(a² + b² + c² - ab-ac-bc)
substituindo:
36 -3abc = 2( 6 - (ab+ac+bc) )
(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab+ac+bc) ∴ 4 = 6 + 2(ab + ac + bc) ∴ ab + ac + bc = -1

36 -3abc = 2( 6 -(-1))
36 - 3abc =  14
abc = 22/3
daqui não se pode concluir nada sem saber a natureza dos números, porém com esses valores não necessariamente um deles é 2, veja:
se c = 2 teríamos:
a+ b = 0 , e a² + b² = 2 substituindo:
a² + (-a)² = 2 ∴ 2a² = 2 ∴ a = ± ∴ b = ∓­1
como a³ + b³ + c³ = 36
(±1)³ + (∓­1)³ + 2³ = 36
8 = 36, absurdo!

E se fosse (a-3)³ , mudaria em algo ? porque eu postei essa questão no rumo ao ita (facebook) ai falaram que nao fazia sentido ser 3, eu achei o mesmo, ai supomos que era 2 por causa da fatoração.

iaguete escreveu: E se fosse (a-3)³ , mudaria em algo ? porque eu postei essa questão no rumo ao ita (facebook) ai falaram que nao fazia sentido ser 3, eu achei o mesmo, ai supomos que era 2 por causa da fatoração.

também daria errado,chegaria em  8 = 81..qual é a questão original? Poste sempre a questão conforme o enunciado original, sem alterar uma vírgula.. acho que os valores de a+b+c ou a²+b²+c² que devem estar errados,pode ter sido erro de digitação do livro.

Só mudei essa parada do (a-3)³ para (a-2)³ , fora isso a questão está como está no livro. Mas mesmo assim, deve ter sido erro do livro mesmo. valeu