Prove que

por spawnftw Seg 07 Out 2013, 18:42

Prove que $5^2^n\;-1$ é divisível por 24, para todo n e N.

por indução pessoal, abraços

por **Elcioschin** Seg 07 Out 2013, 22:55

Experimente seguir este caminho:

5^(2n) - 1 = (5^n)² - 1² = (5^n - 1).(5^n + 1)

Basta agora provar que um deles é múltiplo de 4 e o outro de 6 ou que um deles é múltiplo de 24:

Veja:

n = 0 ----> (5^0 - 1).(5^0 + 1) = 0.2 ----> 0 é múltiplo de 24
n = 1 ----> (5^1 - 1).(5^1 + 1) = 4.6 ----> OK
n = 2 ----> (5^2 - 1).(5^2 + 1) = 24.26 ----> OK
n = 3 ----> (5^3 - 1).(5^3 + 1) = 124.126 ----> OK
etc

Note também que cada um dos produtos é de dois números distantes duas unidade um do outro (2 - 0, 6 - 4, 26 - 24, 126 - 124, etc)

por Wilson Calvin Qua 09 Out 2013, 22:30

2ª resolução:

5^(2n) -1 é divisível por 24, ∀ n ∈ N

verificando para n = 1

5^(2.1) - 1 ---> 24 (confere)

Logo existe um número k ∈ N, tal que 5^(2k) - 1 é divisível por 24. (Hipótese)

Isto tem como consequência. 5^(2[k + 1]) - 1 que também é divisível por 24. (Tese)

Pela hipótese temos que: 5^(2k) - 1 = 24x ==> 5².5^(2k) = 5².24x ----> 5^(2k + 2) - 25 = 24.25k ==> 5^(2k + 2) - 1 = 24.25k + 24 => 5^(2.[k + 1]) -1 = 24.(25k + 1)

por Man Utd Qui 10 Out 2013, 11:01

uma outra possibilidade é fazer por congruências:

testando para n=1

$Prove que Gif$ , que é divisivel por 24.

supondo verdadeiro para n=k.

$Prove que Gif$

agora devemos provar para n=k+1:

$Prove que Gif.latex?\\\\&space;5^{2k}-1\equiv&space;0mod(24)&space;\\\\&space;(5^{2k}-1)*5^{2}\equiv&space;0*5^{2}mod(24)&space;\\\\&space;5^{2k+2}-25\equiv&space;0mod(24)&space;\\\\&space;5^{2(k+1)}-1\equiv&space;24mod&space;(24)&space;\\\\&space;24\equiv&space;0mod(24)&space;\\\\&space;5^{2(k+1)}-1\equiv&space;0mod&space;(24)&space;\\\\&space;C.q$