Prove que...

Olá. Primeiro, quero dizer que fui eu que criei essa questão, por causa de uma dúvida em outra questão. Eu não sei se é possível, se está certo ou errado o que eu vou pedir para provar, mas aí está:

p,q e r são números naturais quaisquer. Prove que não forma um quadrado perfeito.

Perceba que a expressão fornecida por você é a raiz quadrada do discriminante da seguinte equação do 2º grau:




Essa é uma equação do 2º grau com coeficientes 'a', 'b' e 'c' ímpares.

Desse fato, vem que essa equação não admite raízes racionais.
Isso é demonstrado no tópico abaixo:
https://pir2.forumeiros.com/t48514-simuloado-ime-ita

Assim, como a equação não admite raízes racionais, tem-se que a raiz do discriminante deve ser irracional (pois se não o fosse a equação admitiria raízes racionais).

Assim, a expressão proposta no exercício (reitero que ela se trata da raiz quadrada do discriminante da equação
a.x² +b.x + c = 0 apresentada) representa um número irracional e, portanto, nunca será um quadrado perfeito.

OBS: Saiu um erro de digitação no LaTeX na terceira linha.
O correto é b = (2.q -1).

João, eu estava justamente querendo fazer essa questão que você postou. Eu vi lá que o Luck demonstrou, mas eu queria saber se tem como manipular algebricamente esse discriminante e provar que não é possível formar um quadrado perfeito. Obrigado mesmo assim.

Com certeza deve dar.

Resta criatividade.

Consegui provar. Vou deixar aqui para que outros avaliem, e se estiver correto, que sirva para que outros aproveitem como estudo.

Digamos que a expressão pedida resulte em um número inteiro. Logo:






Desenvolvendo a expressão, temos:







Como n é impar, a expressão ou é par ou não é inteira. De qualquer caso, a expressão deve ser racional.

Porém, analisando o membro esquerdo da equação (I):



O membro esquerdo da equação (I) é impar, enquanto o membro direito é par ou não inteiro. A igualdade da equação (I) é um absurdo. Logo, não forma um número inteiro. C.Q.D.

Obs: eu formulei a questão errado. O enunciado correto é "Prove que ....... não forma um NÚMERO INTEIRO.

Sua solução tem erros

Na 1ª linha do desenvolvimento ---> 4q² - 4q + 1 - 16pr - 8p - 8r - 4 = n²

Na 3ª linha do desenvolvimento você desapareceu com + 1 que estava dentro do parenteses na 2ª linha

Elcioschin escreveu:
Na 3ª linha do desenvolvimento você desapareceu com + 1 que estava dentro do parenteses na 2ª linha

Aquele +1 eu joguei para o outro lado, aí ficou n²-1.

Corrigi um bocado de coisas agora, não sei se a demonstração em si está certa.

Aos meus olhos a sua demonstração está correta.

Só acho que faltou um pouco de rigor matemático na parte em que você afirma que se n é ímpar então (n² - 1)/4 ou é par ou não é inteiro.

Essa afirmação não é trivial e, portanto, é necessário uma demonstração rigorosa (demonstração, essa, que farei aqui).

Enunciado: Se 'n' é ímpar então a expressão S = (n² - 1)/4 ou é par ou não é inteira.

Demonstração: Suponhamos, por absurdo, que S = (n² - 1)/4 com n ímpar resulta em um ímpar.
Então, ter-se-ia: n² - 1 = 4.(2.k - 1), com 'k' natural.
Desenvolvendo, obtém-se: n² = 8.k - 3 .
Ou seja, n² deixa resto -3 quando dividido por 8.
Em linguagem de 'Congruências', tem-se: n² ≡ -3 ≡ 5 (mód oito) =>
=> n² ≡ 5 (mód oito)
Portanto: n² = 8.k' + 5 (eq1) , com n ímpar e k' natural.
Mas, sendo 'n' ímpar, tem-se que n² também o é.
Em linguagem matemática, tem-se: n = 2.t + 1 , com t natural.
Assim: n² = (2.t + 1)² = 4.t² + 4.t + 1 <=> n² = 4.(t² + t) + 1
Dessa última igualdade saem duas afirmações:
1) n² ≡ 1 (mód 4)
2) n² ≡ 1 (mód 2)
Portanto: n² ≡ 1 (mód oito), ou ,ainda, n² = 8.j + 1 (eq2) , com 'j' natural.
Tem-se, pois, que (eq2) contraria (eq1), criando, assim, um absurdo.
Logo S = (n² -1)/4 ou é par ou não é inteira, corroborando, dessa forma, o enunciado.