Simuloado IME/ITA

Sendo a,b,c números ímpares ,prove que a equaçao ax^2+bx+c=0 não admite raízes racionais.

Suponha por absurdo que a equação admite raízes racionais , entao seja x' = p/q , mdc(p,q) = 1 ,entao temos:
a(p/q)² + b(p/q) + c = 0 , *(q²) :
ap² + bpq + cq² = 0

casos:
se p for par e q par, nao convém, pois mdc(p,q) = 1
considere P = par e I =  ímpar

se p for ímpar e q par:
p² é I , q² é P
ap² = I . I = I ; bpq = I.I.P = P ; cq² = I.P = P
entao temos : I + P + P = I , ou seja 0 é impar (absurdo!)
analogamente..
se p for par e q ímpar:
ap² = I.P = P ; bpq = I.P.I = P ; cq² = I.I = I
P + P + I = I absurdo.

se p for ímpar e q ímpar:
ap² = I.I = I ;  bpq = I.I.I = I ; cq² = I.I = I
I + I + I = I absurdo.

Logo a equação não admite raízes racionais, c.q.d.