Prove que r>0

por pertinax Qui 14 maio 2015, 10:57

Bom dia pessoal, estou com uma questão em mãos de limite tendendo ao infinito.
Primeiro é pedido para calcular o lim x-> +∞ para (2x+5)/(2x³+4x-1), o que pelas minhas contas deu 0.
Logo em seguida, é pedido:
mostre que existe r > 0 tal que
x > r para
0 < (2x+5)/(2x³+4x-1) < 1/2;
Como faço essa demonstração?

por **Elcioschin** Qui 14 maio 2015, 12:49

Separe em duas inequações:

(2x+5)/(2x³+4x-1) > 0 ---> Raiz do numerador = -2,5 ---> Única raiz real do denominador ~= 0,25

Faça a tabela verdade e descubra os intervalos

(2x+5)/(2x³+4x-1) < 1/2 ---> (2x+5)/(2x³+4x-1) - 1/2 < 0

Desenvolva e obterá no numerador a raiz x ~= 1,76

Proceda de modo similar

por pertinax Qui 14 maio 2015, 15:20

Sinceramente, não compreendi, e pelo parecer do exercício me parece que devo responder com a resolução do limite obtido anteriormente, com a função f(x) tendendo a 0 quando x tende ao infinito. Não é bem para desenvolver a equação, e sim provar que r>0 com x>r. Agradeço a atenção, mas se houver um método mais ligado com essa teoria eu agradeço muito.

por **mauk03** Sex 15 maio 2015, 12:48

Para provar que $|x|>r\Rightarrow \left | \frac{2x+5}{2x^{3}+4x-1} \right |<\frac{1}{2}$ , vc deve observar que isso é equivalente a provar que o limite calculado por vc existe já que $\forall \epsilon >0,\exists r>0$ tal que $|x|>r\Rightarrow \left | f(x)-L \right |<\epsilon$ , onde nesse caso $L=0$ , $\epsilon =\frac{1}{2}$ e $f(x)=\frac{2x+5}{2x^{3}+4x-1}$ .