IME - Prove que

Considerando quatro números inteiros a,b,c e d.Prove que o produto:

(a-b)(c-a)(d-a)(d-c)(d-b)(c-b) é divisível por 12.

Muito da hora essa resolução, olha só:

Questao 10 do IME

Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:

(a-b) (c-a) (d-a) (d-c) (d-b) (c-b)
é divisível por 12 .

Obviamente consideremos que todos os números sao distintos, pois se 2 forem iguais o produto serah 0, que é divisível por 12
I) Inicialmente provemos que o produto eh divisivel por 4
Se todos os 4 numeros forem impares ou pares as diferencas serao todas pares e o produto serah divisivel por = 16
Se 1 for par e 3 impares, teremos 3 diferencas pares (as que envolvem os termos impares), e o produto eh divisivel por = 8
Se 1 for impar e 3 pares teremos novamente 3 diferencas pares (as que envolvem os termos pares), e o produto eh divisivel por = 8
Se 2 forem pares e 2 impares teremos 2 diferencas pares (a que envolve os termos impares e a que envolve os termos pares), e o produto eh divisivel por 2² = 4
Como vemos o caso mais critico eh o ultimo, implicando que sempre o produto eh divisivel pelo menos por 4.

II) Agora provemos que o produto eh divisivel por 3
Se dois numeros forem divisiveis por 3 entao sua diferenca tambem serah, implicando que o produto tambem seja divisivel por 3. Suponhamos entao que nao existam dois numeros divisiveis por 3. Ou seja, 3 numeros sao da forma 3x ± 1.
1- Se for: 3x + 1, 3y + 1, 3z + 1 temos 3 diferencas divisiveis por 3:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z-1)(3y+1-3z-1) = 27(x-y)(x-z)(y-z)
2 - Se for: 3x + 1, 3y + 1, 3z – 1 temos 1 diferenca divisivel por 3:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z+1)(3y+1-3z+1) = 3(x-y)(3x-3z+2)(3y-3z+2)
3 - Se for: 3x + 1, 3y – 1, 3z – 1 temos 1 diferenca divisivel por 3:
Semelhante ao caso 2
4 - Se for: 3x – 1, 3y – 1, 3z – 1 temos 3 diferencas divisiveis por 3:
Semelhante ao caso 1
Portanto sempre teremos o produto divisível por 3

Como o produto eh divisivel por 3 e por 4 entao eh divisivel por 12.

Marcelo Rufino

Retirado originalmente de: http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.199911/msg00132.html

"Are you fucking kidding me?"

É sério que ele cobram esse tipo de questão discursiva esperando que você apresente a resposta correta? Tá é louco!

Sim no ime sempre cai teoria dos números hehe.

Acredito que ele esqueceu de mencionar na segunda parte que os números não divisíveis por 3 também podem ser da forma 3x+-2 e e nessa parte de provar com números da forma 3x+-2...certo?

Essa questão é muito show! sai também pelo "principio das casas dos pombos"!!

Existe outra solução baseada somente na paridade dos números.

Antes de mostrá-la enunciarei quatro propriedades dos números pares e ímpares que podem ser deduzidas facilmente (basta utilizar as formas '2.k' e '2.k +1' para números pares e ímpares, respectivamente!):

1)Subtração de números pares resulta em um número par;
2)Subtração entre um número par e um número ímpar resulta em um número resulta em número ímpar;
3)Subtração entre um número ímpar e um número par resulta em um número ímpar;
4)Subtração entre dois números ímpares resulta em número par.

Pode-se, agora, analisar todas as possibilidades de paridades dos quatro números e tirar algumas conclusões interessantes que garantirão a divisibilidade do produto por 4.

1ª possibilidade) Todos os números são pares:

Se todos os números são pares a 'propriedade 1' ,listada acima, garante que os seis fatores serão pares e, portanto, o produto é divisível por 4.

2ª possibilidade) Um dos números é ímpar e o resto é par:

Para essa possibilidade teremos quatro casos distintos (combinação de um elemento em quatro) e, em todos eles, segue, pela 'propriedade 1', que três fatores serão pares, garantindo, assim, que o produto também seja divisível por 4.

3ª possibilidade) Dois números são pares e dois números são ímpares:

Para essa possibilidade teremos seis casos distintos (combinação de dois elementos em quatro) e, em todos eles, segue, pela 'propriedade 1', que um dos fatores é par e, pela 'propriedade 4', que um segundo fator também é par, garantindo, assim, que o produto também seja divisível por 4.

4ª possibilidade) Três números são pares e um é ímpar:

Para essa possibilidade há quatro casos distintos (combinação de três elementos em quatro) e, em todos eles, segue, pela 'propriedade 4', que dois fatores serão pares, garantindo, novamente, que o produto também seja divisível por 4.

5ª possibilidade) Todos os números são ímpares:

Nessa possibilidade só há, obviamente, um caso.
Pela 'propriedade 4' segue que todos os fatores são pares garantindo, assim, que todos os fatores são divisíveis por 4 e, consequentemente, que o produto também o é.

Demonstra-se, assim, que o produto é divisível por 4.

Para concluir a demonstração da divisibilidade por 12 ainda temos que provar que o produto é divisível por 3.

Sabe-se que um número inteiro qualquer sempre tem uma das formas abaixo:

1)3.k;
2)3.p +1;
3)3.x +2.

Podemos perceber que todos os fatores são compostos de subtrações entre dois dos quatro números.

Analisemos, agora, as subtrações de dois números da mesma forma para cada uma das formas à seguir:

1) 3.k'-3.k = 3.(k' - k) (Múltiplo de três)

2) 3.p' + 1 - (3.p + 1) = 3.(p' - p) (Múltiplo de três)

3) 3.x' + 2 - (3.x + 2) = 3.(x' - x) (Múltiplo de três)

Como temos quatro números inteiros que fazem parte do produto e apenas três formas, vem que, pelo menos dois números, serão da mesma forma, e, portanto, teremos, pelo menos um, fator múltiplo de três (o que já é suficiente para garantir que todo o produto será múltiplo de três, obviamente ).

Assim, demonstra-se que o produto é múltiplo de três e de quatro ao mesmo tempo e, portanto, de doze.

C.q.d

Obrigado Joao!

Por que é 2 elevado ao número de diferenças ? 

"Se todos os 4 numeros forem impares ou pares as diferencas serao todas pares e o produto serah divisivel por  = 16"


Não entendi !