Prove que

por vitorCE Seg 30 Abr 2012, 16:53

Proque que 17 divide $a_{k}=4^{k^2+50}+4^{k^2+51}+4^{k^2+52}+4^{k^2+53}$ para todo inteiro positivo k.

por **Elcioschin** Seg 30 Abr 2012, 17:02

vitor

Você tentou ???? É muito simples!!!

ak = (4^k²)*(4^50 + 4^51 + 4^52 + 4^53)

ak =(4^k²)*(4^50 + 4*4^50 + (4^2)*4^50 + (4^3)*4^50)

ak = (4^50)*(4^k²)*(1 + 4 + 16 + 64)

ak = (4^50)*(4^k²)*85 ----> 85 é múltiplo de 17, logo ......................................

por vitorCE Seg 30 Abr 2012, 21:53

Sim parece fácil elcioshin , porém nesse final só pelo fato de o 85 ser múltiplo de 17 poderei afirmar que irá ser divisível ?? Mas como é uma multiplicação de 4^k² ... * 85, esse k não irá influenciar no resultado final ??

por **PedroX** Ter 01 maio 2012, 08:28

Não, porque ao dividir ficará:

ak = (4^50)*(4^k²)*5

Independente do valor de k.

por **Elcioschin** Ter 01 maio 2012, 14:35

vitor

Complementando a resposta do colega game_maker

Seja N = 85*X onde N e X são inteiros:

N/17 = (85*X)/17 ----> N/17 = (85/17)*X ----> N/17 = 5*X ----> 5*X é inteiro ----> N é divisível por 17

por vitorCE Ter 01 maio 2012, 16:09

Agora entendi , obrigado Elcioshin e game_maker.

por **JOAO [ITA]** Ter 01 maio 2012, 20:56

Esse problema pode ser resolvido de um modo bem mais simples do que o que Mestre Elcio usou:

Temos a seguinte expressão:

$a_{k}=4^{k^2+50}+4^{k^2+51}+4^{k^2+52}+4^{k^2+53}$

Podemos observar que os expoentes seguem uma progressão aritmética de razão 1. Desse modo podemos nomear :

$k^2+50=x$

Podemos ter a mesma sequência escrita da seguinte forma:

$a_{k}=4^{x}+4^{x+1}+4^{x+2}+4^{x+3}$

Que pode ser fatorada para:

$a_{k}=4^{x}.(1+4+4^2+4^3)=4^x.85$

Podendo perceber que:

$85 \equiv 0\,(mod\,\,17)\Rightarrow 4^x.85\equiv 0\,(mod\,\,17) \Rightarrow\\ a_{k}\equiv 0\,(mod\,\,17)\Rightarrow 17|a_{k}\,\,\,C.Q.D$

por vitorCE Qua 02 maio 2012, 05:42

Muito bom JOAO.

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