prove que
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thiago ro- Estrela Dourada
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Re: prove que
por Robson Jr. Ter 25 Set 2012, 19:27
Thiago, experimente escrever assim:
"Prove que 11...122...25, onde os algarismos 1 e 2 aparecem, respectivamente, 1997 e 1998 vezes, é quadrado perfeito."
Solução:
A ideia é decompor o número em potências de 10. Para isso, observe que:
● O primeiro 2 corresponde ao algarismo das dezenas, isto é, 10^1;
● O segundo 2 corresponde ao algarismo das centenas, isto é, 10^2;
...
● O 1998-ésimo 2 corresponde ao 10^1998.
● O primeiro 1 vem logo depois do 10^1998, então corresponde ao 10^1999
● O segundo 1 corresponde ao algarismo seguinte, isto é, 10^2000
...
● O 1997-ésimo 2 corresponde ao 10^3995.
Equacionando:
+1.(10^{1999}+10^{2000}+...+10^{3995}) "\underset{1997}{\underbrace{11...1}}\underset{1998}{\underbrace{ \22...2}}5=5+2.(10+10^2+...+10^{1998})+1.(10^{1999}+10^{2000}+...+10^{3995})")
Agora é mexer no lado direito até aparecer um quadrado perfeito. Lembrando que entre parenteses há uma soma de PG...
+1.(10^{1999}+10^{2000}+...+10^{3995})\\\\ N=5+2.\left ( \frac{10^{1999}-10}{10-1} \right )+\left ( \frac{10^{3996}-10^{1999}}{10-1} \right ) \\\\\\ N=\frac{45+2.10^{1999}-2.10+10^{3996}-10^{1999}}{9} \\\\ N=\frac{10^{3996}+10.10^{1998}+25}{9} \\\\ {\color{Red} N=\left ( \frac{10^{1998}+5}{3} \right )^2} "\small \\ N=5+2.(10+10^2+...+10^{1998})+1.(10^{1999}+10^{2000}+...+10^{3995})\\\\ N=5+2.\left ( \frac{10^{1999}-10}{10-1} \right )+\left ( \frac{10^{3996}-10^{1999}}{10-1} \right ) \\\\\\ N=\frac{45+2.10^{1999}-2.10+10^{3996}-10^{1999}}{9} \\\\ N=\frac{10^{3996}+10.10^{1998}+25}{9} \\\\ {\color{Red} N=\left ( \frac{10^{1998}+5}{3} \right )^2}")
"Prove que 11...122...25, onde os algarismos 1 e 2 aparecem, respectivamente, 1997 e 1998 vezes, é quadrado perfeito."
Solução:
A ideia é decompor o número em potências de 10. Para isso, observe que:
● O primeiro 2 corresponde ao algarismo das dezenas, isto é, 10^1;
● O segundo 2 corresponde ao algarismo das centenas, isto é, 10^2;
...
● O 1998-ésimo 2 corresponde ao 10^1998.
● O primeiro 1 vem logo depois do 10^1998, então corresponde ao 10^1999
● O segundo 1 corresponde ao algarismo seguinte, isto é, 10^2000
...
● O 1997-ésimo 2 corresponde ao 10^3995.
Equacionando:
Agora é mexer no lado direito até aparecer um quadrado perfeito. Lembrando que entre parenteses há uma soma de PG...
Robson Jr.- Fera
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Re: prove que
por thiago ro Qui 27 Set 2012, 15:10
valeu robson, a quando tempo amigo!eu nao entendi por que 10-1?
thiago ro- Estrela Dourada
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Re: prove que
por Robson Jr. Qui 27 Set 2012, 16:12
Quanto tempo mesmo! Preciso esbarrar em mais tópicos seus. 
O 10 - 1 vem da fórmula de soma de PG.
No caso daquelas somas, a razão da PG é q = 10. Daí o denominador q - 1 = 10 - 1.
O 10 - 1 vem da fórmula de soma de PG.
No caso daquelas somas, a razão da PG é q = 10. Daí o denominador q - 1 = 10 - 1.
Robson Jr.- Fera
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