Prove
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Prove
por Chronoss Sáb 20 Abr 2013, 13:00
Dado que a³ + b³ + c³ = (a + b + c)³, prove que para todo numero natura n:
^{2n+1} "a^{2n + 1} \: \: +\, b^{2n +1}\: \: +\, c^{2n+1}\: =(a\: +\: b\, +\, c)^{2n+1}")
A unica ideia que me vem a cabeça é que os números são simétricos ,mas não sei como provar.
Obs: Encontrei essa questão em um livro que prepara para as provas de admissão do 1º ano , por isso me desculpem caso a questão esteja na área incorreta, realmente fiquei sem saber.
A unica ideia que me vem a cabeça é que os números são simétricos ,mas não sei como provar.
Obs: Encontrei essa questão em um livro que prepara para as provas de admissão do 1º ano , por isso me desculpem caso a questão esteja na área incorreta, realmente fiquei sem saber.
Chronoss- Jedi
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Re: Prove
por Felipe Rangel Sex 26 Abr 2013, 23:28
Seja a identidade:
^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c) "\small (a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(a+c)(b+c)")
Partindo dela, a hipótese se torna:
(a+c)(b+c)=0 \Leftrightarrow a=-b \text{ ou } a=-c \text{ ou } b=-c "\small 3(a+b)(a+c)(b+c)=0 \Leftrightarrow a=-b \text{ ou } a=-c \text{ ou } b=-c")
Observando que 2n + 1 é sempre ímpar, se tomarmos a = -b teremos:
^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ (-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b+b+c)^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ -b^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(0+c)^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ c^{2n+1}=c^{2n+1} "\small a^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(a+b+c)^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ (-b)^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(-b+b+c)^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ -b^{2n+1}+b^{2n+1}+c^{2n+1}=(0+c)^{2n+1} \\ \Leftrightarrow \ c^{2n+1}=c^{2n+1}")
Demonstração análoga para os demais casos.
Créditos: Um Fera aqui do forum.
Partindo dela, a hipótese se torna:
Observando que 2n + 1 é sempre ímpar, se tomarmos a = -b teremos:
Demonstração análoga para os demais casos.
Créditos: Um Fera aqui do forum.
Felipe Rangel- Iniciante
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