razão entre os arcos

Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes proporcionais a 1 e 3. Sabendo que a corda é perpendicular ao diâmetro, vamos ter que a razão do arco maior para o arco menor determinados pela referida corda é:

(A) 5
(B) 4
(C) 3/2
(D) 3
(E) 2

Alternativa E ?

Veja se com a figura dá para terminar:
Lembre:
- Se o diâmetero é dividido em partes proporcionais a 1 e 3 . Uma parte pode ser 1 e a outra 3.
- Todo triângulo inscrito numa semi circunferência é retângulo.
- Relações métricas no triângulo retângulo h²=m.n... b².a.m.....c²=a.n
- Você vai constatar que trata-se do famoso triângulo retângulo 30/60/90(já lhe dei as dicas) desse triângulo.
- ângulo inscrito - o arco vale o dobro do ângulo que subtende.

Se engasgar pergunte.

Att

consegui , obrigado.

:bball:

Drufox

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arco maior / arco menor = 240/120 =2

mais detalhes:

ADB é retângulo - inscrito numa semi-circunferência.
h²=m.n--->h²=V3
AD²=AB.AH--->AD=2V3
BD²=AB.BH---->2

Triângulo retângulo ADB tem ângulo 30/60/90 , pois a hipotenusa é o dobro do menor cateto e o maior cateto é igual ao menor . V3.

DÂB (30º) é ângulo inscrito---> arco DB=60º
Arco menor DC= DB.2=120º
Arco maior = 360=120=240º
R=240/120=2

Drufox escreveu:Uma corda de uma circunferência divide um diâmetro da mesma circunferência em partes proporcionais a 1 e 3. Sabendo que a corda é perpendicular ao diâmetro, vamos ter que a razão do arco maior para o arco menor determinados pela referida corda é:

(A) 5
(B) 4
(C) 3/2
(D) 3
(E) 2

Boa noite, Drufox.

Como o diâmetro ficará dividido assim: 1 parte + 3 partes, então o encontro dessas duas partes do diâmetro se dará na metade do raio:

A____|____O____|____B

Sobre essas duas primeiras partes podemos construir um triângulo equilátero, levantando-se uma perpendicular a partir do traço vermelho até atingir a circunferência num ponto que designaremos pela letra C.

Justificando:

O produto das duas partes de uma das cordas é igual ao produto das duas partes da outra corda que a intersepta.

Chamando de "x" cada metade da corda que passa verticalmente pelo ponto vermelho e por "y" e "3y" as partes em que se encontra dividida a corda AB, tem-se:

x*x = y*3y
x² = 3y²
x = y√3

A tangente de CÔA é igual a:
x/y = y√3 / y = √3
√3 = tg 60°

Logo, o arco CA deve medir 60° (pois CÔA é ângulo central) e assim o arco menor deve medir:
2 * 60° = 120°

A arco maior deverá ter por medida:
360° - 120° = 240°

Concluindo, a relação entre o arco maior e o menor deverá ser igual a:
240°/120° = 2

Alternativa (E)






Um abraço.

legal de geometria é isso , tem muitas maneira de resolver um único exercício .
obrigado