Gravitação - anel circular[ traduçao]

Relembrando a primeira mensagem :

A uniform circular ring of radius R is fixed in place. A particle is placed on the axis of the ring
at a distance much greater than R and allowed to fall towards the ring under the influence of the
ring’s gravity. The particle achieves a maximum speed v. The ring is replaced with one of the same
(linear) mass density but radius 2R, and the experiment is repeated. What is the new maximum
speed of the particle?
_________________________________
Robson Jr.

thiago, eu vi o tópico com a tradução nível google dessa questão. Tava tenso.

Faça outro, agora com o enunciado do Euclides.
_________________________________________

Tradução

Uma partícula é colocada no eixo de um anel uniforme e circular de raio R a uma distância H maior que R e é deixada cair sob a influência única da gravidade do anel. A partícula alcança uma velocidade máxima v.
O anel é então substituído por outro de mesma densidade linear de massa, mas de raio 2R. O experimento é repetido. Qual é a nova velocidade máxima alcançada pela partícula?


____________________
Euclides

fiz assim para deixar o tópico em aberto. ok?

Se a força for a primeira equação que você postou, daria certo sim.
Veja, pela sua primeira equação:
F=GMmd/(H²+R²)^3/2
Para H>>R, podemos aproximar para:
F=GMmH/(H²)^3/2=GMm/H² (Ou me equivoquei?)

Não sei se a questão cobrou isso uma vez que a força gravitacional é conservativa, o trabalho não vai depender da trajetória, assim
W=-ΔU=ΔEc
Logo, calculando a energia potencial no ponto inicial, e sabendo que no ponto final adotado ela é nula, nada importa o "meio do caminho" para nosso cálculo.

Sobre a pergunta do campo elétrico, nunca calculei. (Na verdade, eu sou um curioso nessas questões de física que envolve cálculo, uma vez que não cheguei lá ainda na faculdade, faço por curiosidade e porque gosto, eu acho kkk). Se puder ajudar na demonstração e/ou postar a questão para eu tentar, ficaria agradecido

Aguardo seu feedback.

hygorvv escreveu:
F=GMmH/(H²)^3/2=GMm/H² (Ou me equivoquei?)

Você aproximou H³ para H². Daria no mesmo se H fosse infinitamente grande (F seria nula), mas, como o Euclides apontou, é apenas muito maior que R.

hygorvv escreveu:
Logo, calculando a energia potencial no ponto inicial, e sabendo que no ponto final adotado ela é nula, nada importa o "meio do caminho" para nosso cálculo.

A energia potencial no final do trajeto não é nula. Dà uma olhada na solução que postei anteriormente.

hygorvv escreveu: Sobre a pergunta do campo elétrico, nunca calculei. (Na verdade, eu sou um curioso nessas questões de física que envolve cálculo, uma vez que não cheguei lá ainda na faculdade, faço por curiosidade e porque gosto, eu acho kkk). Se puder ajudar na demonstração e/ou postar a questão para eu tentar, ficaria agradecido

Encontrar o campo elétrico no eixo de um anel carregado e encontrar a força gravitacional no eixo de um anel com massa são problemas assustadoramente análogos. Não quero colocar outra questão no tópico, então vou te dar uma sugestão: pegue um ponto qualquer do eixo e veja qual é a força gravitacional lá gerada por um trecho muito pequeno do anel. Depois analise a influência, naquele ponto, de um outro trecho do anel diametralmente oposto ao primeiro.

Você vai chegar exatamente no F que eu coloquei, sem nem usar cálculo.

Você aproximou H³ para H². Daria no mesmo se H fosse infinitamente grande (F seria nula), mas, como o Euclides apontou, é apenas muito maior que R.

Não, eu simplifiquei com o H no numerador. Veja a fórmula que você postou.
F=GMmd/(H²+R²)^(3/2), suponho que d seja o módulo do vetor posição da partícula.
Para H>>R, temos que d≈H e H²+R²≈H². Prosseguindo, chegaremos em F=GMm/H²

A energia potencial no final do trajeto não é nula. Dà uma olhada na solução que postei anteriormente.

No centro do anel a energia potencial não seria nula? [Por simetria, a força gravitacional resultante será zero, concorda?]

Depois eu tento resolver sua sugestão e tentar chegar na fórmula da força gravitacional a uma distância d gerada por um anel circular. Se eu tiver dúvida, te pergunto, ok?

hygorvv escreveu:Não, eu simplifiquei com o H no numerador. Veja a fórmula que você postou.
F=GMmd/(H²+R²)^(3/2), suponho que d seja o módulo do vetor posição da partícula.
Para H>>R, temos que d≈H e H²+R²≈H². Prosseguindo, chegaremos em F=GMm/H²

Copiei errado minha própria fórmula. Realmente dá certo para H >> R.

hygorvv escreveu:
No centro do anel a energia potencial não seria nula? [Por simetria, a força gravitacional resultante será zero, concorda?

A força resultante seria zero, mas a energia potencial não.



x = 0 não anula a expressão.

Vou tentar explicar o que estou pensando sem usar a matemática desta vez.
No centro do anel, a força resultante é nula, concorda?
Se colocarmos um corpo no centro do anel, o que ocorrerá com ele? (supondo um sistema isolado, claro).

Nada.

Como ele pode possuir energia potencial no centro do anel?

Assim:

Obrigado pelo link, Caio. De repente ele faz o amigo hygorvv concordar comigo.