Gravitação - anel circular[ traduçao]

A uniform circular ring of radius R is fixed in place. A particle is placed on the axis of the ring
at a distance much greater than R and allowed to fall towards the ring under the influence of the
ring’s gravity. The particle achieves a maximum speed v. The ring is replaced with one of the same
(linear) mass density but radius 2R, and the experiment is repeated. What is the new maximum
speed of the particle?
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Robson Jr.

thiago, eu vi o tópico com a tradução nível google dessa questão. Tava tenso.

Faça outro, agora com o enunciado do Euclides.
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Tradução

Uma partícula é colocada no eixo de um anel uniforme e circular de raio R a uma distância H maior que R e é deixada cair sob a influência única da gravidade do anel. A partícula alcança uma velocidade máxima v.
O anel é então substituído por outro de mesma densidade linear de massa, mas de raio 2R. O experimento é repetido. Qual é a nova velocidade máxima alcançada pela partícula?


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Euclides

fiz assim para deixar o tópico em aberto. ok?

Usando a imagem acima
No primeiro experimento, energia mecânica se conserva, portanto Ei = Ef
Ei = Ep = -GMm/H
Ef = Ec + Ep =(mv²/2) + (-GMm/R)

-GMm/H = mv²/2 - GMm/R
=> (GMm/R) - (GMm/H) = mv²/2
v = raiz{2GM[(1/R) - (1/H)]}

Como H>>>R

===> v = raiz{2GM/R}

no segundo experimento, G é o mesmo, M varia, densidade é a mesma e R dobra.

Como a densidade é a mesma e o raio dobrou, a massa deve dobrar.

A velocidade no segundo experimento, V', é:
V' = raiz{2G.2M/2R} = raiz{2GM/R} = v

da onde veio essa expressao -GMm/H?

ramonss escreveu:No primeiro experimento, energia mecânica se conserva, portanto Ei = Ef
Ei = Ep = -GMm/H
Ef = Ec + Ep =(mv²/2) + (-GMm/R)

ramonss, nossas respostas coincidem mas não entendo sua solução.

Você usou a expressão Ep = -GMm/d? Porque, se sim, aquele "R" não faz sentido. Existe uma expressão diferente para a energia potencial gravitacional de um corpo que está ao longo do eixo de um anel, a qual geraria exatamente os valores presentes na sua solução. Você, porém, não citou essa expressão, o que me deixou em dúvida.

mas ai Robson como foi seu raciocinio?

Como eu disse, há uma expressão um pouco diferente para a energia potencial gravitacional de um corpo ao longo do eixo do anel. Eu a deduzi e fiz conservação de energia.

Vou esperar o ramonss postar algo, já que as nossas soluções podem ser a mesma.

ai robson ele nao vai postar!

Robson, não tenho os conhecimentos pra explicar nada disso. A resolução tirei de um outro fórum em inglês, onde o cara jogou as equações. Eu só passei elas pra cá tentando explicar o que ele fez, mas poste a sua..

Thiago, procure na internet sobre velocidade de escape, talvez fale sobre essa (-GMm/d)
.

ai cara foi mal pensei que voçe nao ia postar!!hehe

ramonss escreveu:Robson, não tenho os conhecimentos pra explicar nada disso. A resolução tirei de um outro fórum em inglês, onde o cara jogou as equações. Eu só passei elas pra cá tentando explicar o que ele fez, mas poste a sua..

Thiago, procure na internet sobre velocidade de escape, talvez fale sobre essa (-GMm/d)
.

Joguei o enunciado em inglês no google e encontrei, penso, o tal forum. O carinha foi vago demais para se concluir algo...

Sobre o problema, cheguei a seguinte conclusão:



"M" e "m" denotam, respectivamente, as massas do anel e da partícula.

A dedução dessa expressão segue segue a lógica do Ep = -GMm/d, sendo necessário resolver uma integral simples. Se alguém estiver interessado na demonstração eu a posto, mas é somente da fórmula que precisamos.

Solução:

Spoiler: