Gravitação - anel circular[ traduçao]

Relembrando a primeira mensagem :

A uniform circular ring of radius R is fixed in place. A particle is placed on the axis of the ring
at a distance much greater than R and allowed to fall towards the ring under the influence of the
ring’s gravity. The particle achieves a maximum speed v. The ring is replaced with one of the same
(linear) mass density but radius 2R, and the experiment is repeated. What is the new maximum
speed of the particle?
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Robson Jr.

thiago, eu vi o tópico com a tradução nível google dessa questão. Tava tenso.

Faça outro, agora com o enunciado do Euclides.
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Tradução

Uma partícula é colocada no eixo de um anel uniforme e circular de raio R a uma distância H maior que R e é deixada cair sob a influência única da gravidade do anel. A partícula alcança uma velocidade máxima v.
O anel é então substituído por outro de mesma densidade linear de massa, mas de raio 2R. O experimento é repetido. Qual é a nova velocidade máxima alcançada pela partícula?


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Euclides

fiz assim para deixar o tópico em aberto. ok?

Pensei em algumas coisas aqui. Gostaria que avaliassem.
Pelo teorema trabalho Energia:
W=ΔE
mas
W=∫F.dx
Para calcularmos a energia potencial no ponto H, fazemos o seguinte;
Primeiro vamos calcular a força resultante gravitacional atuando sobre o corpo em H
dF.cos(a)=GmdM/R²+H²
como H>>R R²+H² ≈ H² e cos(a)≈1
dF=GmdM/H²
Integrando de ambos os lados obtemos:
F=GMm/H²

Agora, para levarmos esse corpo até uma distância infinita (realizando todo o trabalho potencial), resolvemos a integral definida acima.
W=∫F.dx [H até +∞]
W=Ep=-GMm/H (Energia potencial)

Como W=ΔE
Ou em outras palavras, W=ΔEc
-ΔEp=mv²/2
GMm/H=mv²/2
sqrt(2GM/H)=v

Repare que por H>>2R, nada interfere na Ep, logo, nada irá interferir na velocidade final do objeto no segundo caso uma vez que a densidade linear permanece constante.

Viajei ou tem lógica o que fiz?

hygorvv escreveu:
Pelo teorema trabalho Energia:
W=ΔE
mas
W=∫F.dx
Para calcularmos a energia potencial no ponto H, fazemos o seguinte;
Primeiro vamos calcular a força resultante gravitacional atuando sobre o corpo em H
dF.cos(a)=GmdM/R²+H²
como H>>R R²+H² ≈ H² e cos(a)≈1
dF=GmdM/H²
Integrando de ambos os lados obtemos:
F=GMm/H²

Agora, para levarmos esse corpo até uma distância infinita (realizando todo o trabalho potencial), resolvemos a integral definida acima.
W=∫F.dx [H até +∞]
W=Ep=-GMm/H (Energia potencial)

Amigo hygorvv, a suposição H >> R significa que o corpo já está no infinito. Não faz sentido levar ele até lá novamente.

Sua intenção era calcular o resultado da integral ∫F.dx e chamar de energia potencial, que é exatamente como eu prossegui. Para isso, porém, é preciso de uma expressão genérica para F. As eventuais aproximações são posteriores.

Se o corpo já está no "infinito", como ele poderia ter energia potencial para ser transformada em energia cinética?

A energia potencial no infinito de fato é zero.

O problema é que, ao usar H >> R, você particularizou a expressão da força gravitacional F para o ponto infinitamente distante. Integrar essa expressão em ∫F.dx é dizer que ela é válida para todo o caminho, do infinito até o centro do anel. Isso não é verdade.

Não acho que seja isso.
Usando H>>R, eu supus que o anel "viraria" um corpo simétrico (uma esfera).
Resumindo o que eu pensei, a força gravitacional resultante do anel (sendo o corpo em H) seria igual a força resultante de um corpo simétrico de massa m=d.L no centro do anel. Não tem lógica também?

Agora, a partir do momento em que H não for muito maior que R o problema começa a complicar. Talvez poderia surgir até uma questão interessante quanto a isso, o que acha? Alguém é bom em fazer enunciados?
Cálcular da força e/ou energia potencial causada por um anel a um ponto localizado no seu eixo de um anel circular.

Enfim, estou indo dormir. Mas, aguardando seu feedback quando ao meu pensamento.
Boa noite a todos

H >> R não pode ser H=∞.

Minha sugestão: resolvam a questão para H > R e ao final, obtida a solução , verifiquem o que acontece se R for desprezível diante de H.

hygorvv escreveu:Não acho que seja isso.
Usando H>>R, eu supus que o anel "viraria" um corpo simétrico (uma esfera).
Resumindo o que eu pensei, a força gravitacional resultante do anel (sendo o corpo em H) seria igual a força resultante de um corpo simétrico de massa m=d.L no centro do anel. Não tem lógica também?

Esse recurso dará certo apenas para distâncias infinitas.

hygorvv escreveu:Agora, a partir do momento em que H não for muito maior que R o problema começa a complicar. Talvez poderia surgir até uma questão interessante quanto a isso, o que acha? Alguém é bom em fazer enunciados?
Cálcular da força e/ou energia potencial causada por um anel a um ponto localizado no seu eixo de um anel circular.

Não precisa fazer outro problema; este aqui cobra exatamente isso. Até adianto o resultado:



Usando essa função, o resultado da integral indefinida ∫F.dx será a energia potencial que eu sugeri anteriormente.

Brilhante Robson ,muito obrigado amigâo!

Robson Jr. escreveu:Esse recurso dará certo apenas para distâncias infinitas.

Não concordo quanto a isso. Colocando números para um possível exemplo:
Um raio de 1m e uma distância de 100m essa aproximação já se torna válida (o que não condiz com uma distância infinitamente grande entre ambos).

Robson Jr. escreveu:
Não precisa fazer outro problema; este aqui cobra exatamente isso. Até adianto o resultado:



Usando essa função, o resultado da integral indefinida ∫F.dx será a energia potencial que eu sugeri anteriormente.

Não imagino que essa questão tenha cobrado isso uma vez que ele afirmou que H>>R (o que nos permite a aproximação, simplificando a questão).

A forma como chegou a esse resultado, é trivial?

hygorvv escreveu:
Não concordo quanto a isso. Colocando números para um possível exemplo:
Um raio de 1m e uma distância de 100m essa aproximação já se torna válida (o que não condiz com uma distância infinitamente grande entre ambos).

Usei "distâncias infinitas" porque nelas a força gravitacional é nula, o que faria nossas respostas coincidirem. Entretanto, para outros casos sua expressão para força gravitacional será discrepante com a correta. Veja o que ocorre se H >> R:



A força dependeria do cubo da distância em questão, não do quadrado como você sugeriu.

hygorvv escreveu:
Não imagino que essa questão tenha cobrado isso uma vez que ele afirmou que H>>R (o que nos permite a aproximação, simplificando a questão).

A questão cobrou isso, sim! H >> R é válido somente para onde o movimento se inicia. Se a velocidade máxima se dá no centro do anel, é claro que a partícula passou por pontos nos quais a distância ao centro não é muito maior que o raio; daí a importância de deduzir uma fórmula para atração gravitacional que seja válida sempre.

hygorvv escreveu: A forma como chegou a esse resultado, é trivial?

É bem tranquilo, cara. Já viu um problema pedindo para calcular o campo elétrico no eixo de um anel carregado?