Progressão Aritmética (II)

por Eduardo Ramos Ter 10 Nov 2009, 15:26

(PUC-SP 2004) Na seqüência de termo geral an = 5n + sen (n . pi/2), com n ∈ N*, a soma dos 20 primeiros termos de ordem ímpar é igual a:

a) 1800
b) 1874
c) 1896
d) 2000
e) 2024

por **Jose Carlos** Ter 10 Nov 2009, 16:01

Olá,

temos:

an = 5n + sen (n . pi/2), com n E N*

a1 = 5 + sen (pi/2) = 5 + 1 = 6

a3 = 15 + sen (3*pi/2) = 15 - 1 = 14

a5 = 25 + sen (5*pi/2) = 25 + 1 = 26

a7 = 35 + sen (7*pi/2) = 35 - 1 = 34
........
.......
........
a39 = 195 + sen (39*pi/2) = 195 - 1 = 194

observando que:

a1+a3 = 20

a5+a7 = 60

a9+a11 = 100
.....
......
a37+a39 = 380

S = [ ( 20 + 380 )*10 ]/2 = 2000.

Um abraço.

por **Rafael Ibatexano** Qua 11 Nov 2009, 15:30

olá JOSÉ CARLOS,
no começo você determinou os 20 termos da sequência,certo?
depois não entendi a segunda parte,por favor explica para mim?
poderia ser assim também a segunda parte:

S=[(6+194)*20]/2=2000

por **Jose Carlos** Qua 11 Nov 2009, 15:49

Olá Ibatexano,

Até onde eu entendo vc não poderia usar " S=[(6+194)*20]/2=2000 " tendo em vista que esta é a fórmula para o cálculo da soma dos termos de uma P.A.

Temos:

Sn = [ a1 + an )*n ]/2

sendo a1 = 6 e an = 194 e n = 20

a20 = 194 = 6 + ( 20 - 1 )*r

194 - 6 = 19*r => r = 188/19 = 9,89 ( não convém ).

Caso persista a dúvida tenho certeza que um outro amigo nos socorrerá.

Um grande abraço.

por **Rafael Ibatexano** Qua 11 Nov 2009, 15:59

Jose Carlos escreveu:Olá,

observando que:

a1+a3 = 20

a5+a7 = 60

a9+a11 = 100
.....
......
a37+a39 = 380

S = [ ( 20 + 380 )*10 ]/2 = 2000.

Um abraço.

foi essa parte que não entendi!
você não tinha determinado os 20 primeiros termos?
depois não entendi,por isso usei a formula!

por **Jose Carlos** Qua 11 Nov 2009, 17:00

Olá Ibatexano,

Acho que agora entendi.

Observando os termos ímpares notei que:

a1 = 6
a3 = 14
a5 = 26
a7 = 34
....

tentando descobrir a razão desta P.A. temos:

a3 - a1 = 8
a5 - a3 = 12
a7 - a5 = 8
....
.....

assim peguei os termos dois a dois:

a1 + a3 = 20
a5 + a7 = 40
....
....

essas somas estão em P.A de razão 20. Daí apliquei a fórmula da soma. Note-se que assim ficamos com 10 termos ao invés de 20.

É isso?

Um abraço.

por **Rafael Ibatexano** Qua 11 Nov 2009, 17:11

Olá JOSÉ CARLOS!
Agora entendi ,mas,poderia se tratar de uma progressão decrescente?
Porque, para achar a razão, subtraimos o numero pelo seu antecedente,assim:
r=a3-a1 ; nesse caso >[-a1-a3]=20

por **Jose Carlos** Qui 12 Nov 2009, 11:30

Olá Ibatexano,

Acho que não porque "n" E N* e sen (n*pi/2) assume os valores 1 ou - 1.

Um abraço.

por riddle Dom 14 maio 2017, 10:53

Como identificar o valor de o sen (39 pi/2)?

É possível obserar que sen (39 pi/2) = sen (13 3pi/2) e sen (3pi/2) = -1 mas não sei que conclusão deveria tomar.

por **Elcioschin** Dom 14 maio 2017, 11:38

39.pi/2 = 40.pi/2 - pi/2 = 20.pi - pi/2 = 10.(2.pi) - pi/2

10.(2.pi) são 10 voltas no círculo trigonométrico: pode ser desprezado

sen(39.pi/2) = sen(-pi/2) = - sen(pi/2) = - 1

Ou então:

39.pi/2 = 36.pi/2 + 3.pi/2 = 18.pi + 3.pi/2 = 9.(2.pi) + 3.pi/2

9.(2.pi) são 9 voltas no círculo trigonométrico: pode ser desprezado

sen(39.pi/2) = sen(3pi/2) = - 1