Divisibilidade por 9

por **Robson Jr.** Qua 18 Jul 2012, 22:01

Regra de divisibilidade por 9: "Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9."
Demonstração:

É fácil ver que as seguintes afirmações são verdadeiras:

i) Todo número da forma $\small \\ 10^k-1, \ k\in \mathbb{N}$ é divisível por 9. Logo $\small \\ 10^k\equiv 1 \ mod9$ .
ii) Todo número é congruente a si mesmo na divisão por qualquer outro.

Suponha, agora, um número da forma $\small \\ N=a_na_{n-1}a_{n-2}...a_2a_1$ , onde os a's são algarismos das unidades, dezenas etc.

Seguem, de i) e ii), as seguintes relações:

$\small \\ \left\{\begin{matrix} a_1 \equiv a_1 \ mod9\\ 10^0 \equiv 1 \ mod9 \end{matrix}\right. \Rightarrow 10^0.a_1 \equiv 1.a_1 \ mod9 \\\\ \left\{\begin{matrix} a_2 \equiv a_2 \ mod9\\ 10^1 \equiv 1 \ mod9 \end{matrix}\right. \Rightarrow 10^1.a_2 \equiv 1.a_2 \ mod9 \\\\ \left\{\begin{matrix} a_3 \equiv a_3 \ mod9\\ 10^2 \equiv 1 \ mod9 \end{matrix}\right. \Rightarrow 10^2.a_3 \equiv 1.a_3 \ mod9 \\\\ ... \\\\ \left\{\begin{matrix} a_n \equiv a_n \ mod9\\ 10^{n-1} \equiv 1 \ mod9 \end{matrix}\right. \Rightarrow 10^{n-1}.a^n \equiv 1.a_n \ mod9$

Somando as congruências acima:

$\small \\ 10^0.a_1+10^1.a_2+10^2.a_3+...+10^{n-1}.a_n \equiv (a_1+a_2+a_3+...+a_n) \ mod9\\\\ N \equiv (a_1+a_2+a_3+...+a_n) \ mod9$

CqD

por **Iago6** Qui 19 Jul 2012, 00:44

boa

por **Al.Henrique** Qui 19 Jul 2012, 00:56

Eu não consigo entender essas coisas de mod.. :drunken:

Parabéns pela Dem. , Robson!

por **hygorvv** Qui 19 Jul 2012, 09:43

Mandou bem!

por **Robson Jr.** Sex 20 Jul 2012, 13:40

Al.Henrique escreveu:Eu não consigo entender essas coisas de mod.. :drunken:

Já deu uma olhada nesse tópico?

https://pir2.forumeiros.com/t10341-teoria-dos-numeros-congruencia-uma-abordagem-objetiva

Tudo está muito bem explicado no pdf lá.

por **Al.Henrique** Sex 20 Jul 2012, 13:58

Robson Jr. escreveu:
Al.Henrique escreveu:Eu não consigo entender essas coisas de mod.. :drunken:

Já deu uma olhada nesse tópico?

https://pir2.forumeiros.com/t10341-teoria-dos-numeros-congruencia-uma-abordagem-objetiva

Tudo está muito bem explicado no pdf lá.

Boa tarde Robson,

Realmente, não tinha observado esse tópico.

A unica coisa que conheço do "mod" é o básico, seu significado..
Mas não consigo pensar em alguma utilidade. Tavez isso aconteça justamente por não conhecer muito os problemas envolvidos..

Agradeço a indicação Very Happy

por Igor Bragaia Qua 27 Fev 2013, 20:25

Salve Robson!

Ótima demonstração, obrigado por compartilhar conosco

por Wilson Calvin Qui 07 Mar 2013, 12:22

boa! vou dar uma olhada no tópico sobre mod tb.! =D

por Paulo Ricardo 121 Qua 11 Set 2013, 00:49

Um número escrito no sistema decimal na forma ab tem valor

10a + b = 9a + (a + b)

Vemos que a primeira parcela é múltipla de nove.

Assim, 10a + b é divisível por 9, se e somente se, 9 | a + b.

Considerando o número escrito no sistema decimal na forma abc. O seu valor é:

100a + 10b + c = 99a + 9b + (a + b + c)

Note que, 99a + 9b = 9(11a + b), um múltiplo de nove.

Logo, 100a + 10b + c é múltiplo de nove, se e somente se, 9 | a + b + c.

Analogamente, concluímos para os demais números.

Assim, "Um número é divisível por 9 se a soma de seus algarismos for divisível por 9."