(CAU-SC) Divisibilidade

25) Certo numero de 3 algarismos quando divido por 11 deixa resto 1 e quando divido por 13 deixa resto 4. Somando -se os algarismos deste número encontramos:
A) 10
B) 9
C) 8
D) 7
E) 6

Gabarito: B

Oi matheus__borges,

O mecanismo de divisão inteira pode ser escrito em forma de igualdade:

[latex]dividendo = divisor \cdot quociente + resto[/latex] (Comentário: É uma situação análoga ao que é bem comum de se ver em tópicos de divisões polinomiais)

Vamos chamar o número que procuramos de [latex]n[/latex].
Aplicando as duas condições do enunciado e definindo a e b para serem os quocientes:

[latex] n = 11 \cdot a + 1
n = 13 \cdot b + 4 \implies 11 \cdot a = 13\cdot b+3[/latex] (Nota: Os quocientes devem ser valores inteiros)

11 é divisor de [latex]13 \cdot b + 3[/latex] e, portanto o resto dessa divisão é zero.

[latex] a = \frac{13\cdot b+3}{11} = \frac{ (11 \cdot b) +(2\cdot b + 3)}{11}[/latex]

11b é divisível por 11, mas falta analisar [latex]2 \cdot b + 3 [/latex]. Vamos escrever b em termos da divisão inteira por 11:

[latex]b = 11 \cdot k + r[/latex], com k e r inteiros, e por r ser o resto tem-se [latex]0 \le r < divisor = 11[/latex]

[latex]2 b + 3 = 2\cdot(11 k + r) + 3 = (2 k )\cdot 11+ (2 r + 3)[/latex].

[latex]2k\cdot 11[/latex] é divisível por 11, e [latex](2 r + 3)[/latex] deve ser múltiplo de 11. O único múltiplo que obedece [latex]0 \le r < 11[/latex] é o próprio 11.

[latex] 11 = 2r + 3 \implies r = 4 [/latex]

Então as soluções de [latex]b[/latex] são do tipo [latex]b = 11 \cdot k + 4[/latex], com k inteiro.
E as soluções de n ficam :

[latex]n = 13 \cdot b + 4 = 143 k + 56[/latex], com k inteiro.

Apenas faltou fazer a consideração que n tem 3 algarismos:

[latex]100 \le 143k + 56 < 1000 [/latex]

Os valores de k que encaixam nesse intervalos são [latex] 1\le k \le 6[/latex].

[latex] k =1 , n = 199 \implies Soma = 19
k =2, n = 342 \implies Soma = 9[/latex]
(Nota: o numero n mencionado no enunciado é obtido através de algum destes valores de k, mas não necessariamente todos tem o mesmo valor para a soma dos algarismos. Numa questão discursiva teríamos que analisar todos os k, mas como a resposta Soma = 9 já está lá nas opções iremos considerar que a (b) está correta e as demais erradas)

Oi, Amigo! Genial!

Poderia me explicar como sacou isto:

b=11k+r

Como saber que b é maior que 11 e onze divide b?

Oi amigo,
vamos por partes.

matheus__borges escreveu:Poderia me explicar como sacou isto:
b = 11k + r

Primeiramente eu repliquei a relação [latex] dividendo = divisor \cdot quociente + resto[/latex], para simbolizar a divisão de b por 11, mas não necessariamente assumindo que 11 divide b com resto nulo.

joaoZacharias escreveu:[latex]b = 11 \cdot k + r[/latex], com k e r inteiros, e por r ser o resto tem-se [latex]0 \le r < divisor = 11[/latex]

Foi suposta a existência de um resto genérico. Uma maneira de olhar pra isso é com os exemplos:

[latex] b= 35 = 3 \cdot 11 + 2
b = 12 = 1 \cdot 11 + 1
b = 7 = 0 \cdot 11 + 7
b = 0 = 0\cdot 11 + 0[latex]

A motivação principal de eu ter escrito b = 11k + r nessa forma é porque [latex]2\cdot b + 3[/latex] é divisível por 11, assim é possível analisar tanto um quanto o outro em termos da mesma propriedade: o resto da divisão inteira por 11. Deste modo, a gente estabeleceu uma via de correlacionar os dois valores.

matheus__borges escreveu:Oi, Amigo! Genial!
Como saber que b é maior que 11 e onze divide b?

Nesses dois últimos exemplos acima b assume valores menores que 11.
Eu suponho você esteja se referindo a seguinte parte,

joaoZacharias escreveu:11b é divisível por 11 [...]

[latex]\frac{11 \cdot b}{11} = b[/latex], onde b é inteiro. O que é equivalente ser 11 é divisor de 11b.

Top demais, amigo.

Abraço,