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divisibilidade por 3

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Mensagem por mar.cela Seg 05 Set 2011, 11:43

Mostre que se um numero a não é divisível por 3, então o resto da divisão de a^2 por 3 é 1.Preciso de demonstraçoes.


Última edição por mar.cela em Seg 05 Set 2011, 13:51, editado 1 vez(es)

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divisibilidade por 3 Empty Re: divisibilidade por 3

Mensagem por abelardo Seg 05 Set 2011, 12:38

Os possíveis restos de um número quando dividido por três são: 0, 1 e 2. Como o número a não é divisível por três, então os possíveis restos de sua divisão por 3 são 1 e 2.

Quando o resto for 1 :





Quando o resto for 2:







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divisibilidade por 3 Empty Re: divisibilidade por 3

Mensagem por abelardo Qui 08 Set 2011, 11:32

Para quem ainda não domina congruência (a 1º demonstração usa essa ferramenta), demonstrarei usando agora o algoritmo de euclides, que todos conhecem muito bem.

''Se são números inteiros, e , então existe um único par de números inteiros , tais que: com
. '' Isso nada mais é do que a prova real da divisão estendida para os inteiros, onde igualamos o dividendo com divisor*quociente mais o resto.


Os possíveis restos de um número dividido por três são: 0,1,2. Como o número a não é divisível por três, então os possíveis restos são 1 e 2.

Quando o resto for 1:











Quando o resto for 2:













O algoritmo de euclides e congruência utilizam a mesma ''ideia'' nas suas operações, mas usando congruência fica bem mais simples.
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