divisibilidade por 3

por mar.cela Seg 05 Set 2011, 11:43

Mostre que se um numero a não é divisível por 3, então o resto da divisão de a^2 por 3 é 1.Preciso de demonstraçoes.

por **abelardo** Seg 05 Set 2011, 12:38

Os possíveis restos de um número quando dividido por três são: 0, 1 e 2. Como o número a não é divisível por três, então os possíveis restos de sua divisão por 3 são 1 e 2.

Quando o resto for 1 : $a\equiv 1 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 1^2 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 1 \ mod \ 3$

Quando o resto for 2: $a\equiv 2 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 2^2 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 4 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 3+1 \ mod \ 3$

$a^2\equiv 1 \ mod \ 3$

por **abelardo** Qui 08 Set 2011, 11:32

Para quem ainda não domina congruência (a 1º demonstração usa essa ferramenta), demonstrarei usando agora o algoritmo de euclides, que todos conhecem muito bem.

''Se $\ a \ e \ b$ são números inteiros, e $b\neq 0$ , então existe um único par de números inteiros $\ q \ e \ r$ , tais que: $a=bq+r$ com
$0\leq r\leq \left | b \right |$ . '' Isso nada mais é do que a prova real da divisão estendida para os inteiros, onde igualamos o dividendo com divisor*quociente mais o resto.

Os possíveis restos de um número dividido por três são: 0,1,2. Como o número a não é divisível por três, então os possíveis restos são 1 e 2.

Quando o resto for 1:

$a=3q +1$

$a^2=(3q +1)^2$

$a^2=9q^2+6q+1$

$a^2=3(3q^2+2q)+1$

$a^2=3b+{\color{Red} 1}$

Quando o resto for 2:

$a=3p+2$

$a^2=(3p+2)^2$

$a^2=9p^2+12p+4$

$a^2=3(3p^2+4p)+3+1$

$a^2=3(3p^2+4p+1)+1$

$a^2=3b'+{\color{Red} 1}$

O algoritmo de euclides e congruência utilizam a mesma ''ideia'' nas suas operações, mas usando congruência fica bem mais simples.

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