Unicamp- progressão geométrica

Considere uma progressão geométrica de termos não-nulos, na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores.

a)Calcule os dois valores possíveis para a razão q dessa progressão.
b) Supondo que o primeiro termo seja (1-√5)/2 e q>0, calcule a soma dos três primeiros termos dessa progressão.

gabarito: a)(1-√5)/2 e (1+√5)/2
b)-1-√5

PG ----> a1 ; a1q ; a1q² ..........

a1q² = a1 + a1q -----> q² = 1 + q -----> q² - q - 1 = 0 ----> Raízes: q = (1 ±  √5)/2

b) a1 = (1 -  √5)/2 ----> q = (1 +  √5)/2

a2 = a1*q ----- a2 = [(1 -  √5)/2]*[(1 +  √5)/2 -----> a2 = -1

a3 = a2*q ----> a3 = -1*[(1 +  √5)/2] ----> a3 = (-1 -  √5)/2

a1 + a2 + a3 = - 1 -  √5

Compreendi perfeitamente, obrigada mestre Elcioschin.

Elcioschin escreveu:PG ----> a1 ; a1q ; a1q² ..........

a1q² = a1 + a1q -----> q² = 1 + q -----> q² - q - 1 = 0 ----> Raízes: q = (1 ±  √5)/2

b) a1 = (1 -  √5)/2 ----> r = (1 +  √5)/2

a2 = a1*q ----- a2 = [(1 -  √5)/2]*[(1 +  √5)/2 -----> a2 = -1

a3 = a2*q ----> a3 = -1*[(1 +  √5)/2] ----> a3 = (-1 -  √5)/2

a1 + a2 + a3 = - 1 -  √5

Obs.: Perdão por perguntar num tópico de outro colega espero que não teja problemas.
Elcioschin. Estava pesquisando esta questão e encontrei aqui no Pir2, logo eu entendi boa parte da ideia, não obstante li o enunciado várias vezes, afim de que pode-se entender como você desenvolveu a sequência da P.G.----> a1; a1q; a1q²....., contudo acho que não tive sucesso e estou me prendendo na parte do enunciado que diz o seguinte:

",na qual cada termo, a partir do terceiro, é igual a soma dos dois termos imediatamente anteriores."  e não consegui entender ainda mesmo tentando representar. 
Elcioschin se possível poderias representar isso pra mim, a fim de que eu possa entender tal questão melhor?

.

Não há nenhum problema idelbrando.

Suponho que você conheça a definição de PG: a1, a2, a3, ..... an

Fórmula geral an = a1.q^(n - 1) ---> a2 = a1.q, a3 = a1.q², etc

Logo a PG pode ser escrita assim: a1, a1.q, a1.q², ......

Enunciado: Cada termo, a partir do 3º (a3) é a soma dos dois anteriores (a2 e a1):

a3 = a1 + a2 --- a1.q² = a1 + a1.q ---> :a ---> q² = 1 + q ---_> q² - q - 1 = 0

Basta agora calcular as duas raízes q, e descobrir qual delas é q > 0

Elcioschin. Muito obrigado compreendi.   :tiv:

Elcioschin escreveu:PG ----> a1 ; a1q ; a1q² ..........

a1q² = a1 + a1q -----> q² = 1 + q -----> q² - q - 1 = 0 ----> Raízes: q = (1 ±  √5)/2

b) a1 = (1 -  √5)/2 ----> r = (1 +  √5)/2

a2 = a1*q ----- a2 = [(1 -  √5)/2]*[(1 +  √5)/2 -----> a2 = -1

a3 = a2*q ----> a3 = -1*[(1 +  √5)/2] ----> a3 = (-1 -  √5)/2

a1 + a2 + a3 = - 1 -  √5

Elcio,porque r não pode ser =(1-V5)/2 ? Teríamos que considerar que a1≠r por termos estruturado o problema como: (a1;a1q;a1^2) e não: (q;q^2;q^3) ...?

Eu tinha trocado q por r ---> Já editei: o correto é q

Note que o enunciado diz que q > 0

Se q = (1 - √5)/2 ---> q < 0 ---> isto foi proibido pelo enunciado.

Elcioschin escreveu:Eu tinha trocado q por r ---> Já editei: o correto é q

Note que o enunciado diz que q > 0

Se q = (1 - √5)/2 ---> q < 0 ---> isto foi proibido pelo enunciado.

Ah sim! Obrigado.