(Unicamp) - Progressão Geométrica

por Lucas00 Ter 14 Jun 2011, 19:32

(Unicamp) Suponha que, em uma prova, um aluno gaste para resolver cada
questão, a partir da segunda, o dobro de tempo gasto para resolver a questão
anterior. Suponha ainda que, para resolver todas as questões, exceto a última, ele
tenha gasto 63,5 minutos e para resolver todas as questões, exceto as duas últimas,
ele tenha gasto 31,5 minutos. Calcule:
a) O número total de questões da referida prova. R= 8
b) O tempo necessário para que aquele aluno resolva todas as questões da prova.
R= 127,5min

_________

Gostaria que me explicassem passa á passo como efetuar o exercício, sou iniciante em P.G

por **Elcioschin** Ter 14 Jun 2011, 20:10

Seja t o tempo da 1ª questão. Para as n questões teremos os tempos:

t, 2t, 4t ................ t*2^(n-2), t*2^(n-1), t*2^n

1º termo = t
Razão = 2

Soma da primeira à penúltima:

63,5 = t*^[2^(n-1) - 1]/(2 - 1) ----> t*[2^(n-1) - 1)] = 63,5 ----> I

Soma da primeira à antepenúltima:

31,5 = t*^[2^(n-2) - 1]/(2 - 1) ----> t*[2^(n-2) - 1)] = 31,5 ----> II

I : II -----> [2^(n-1) - 1]/[2^(n - 2) - 1) = 635/315 ---->

[(2^n - 2)/2]/[2^n - 4)/4] = 127/63 ----> (2^n - 2)/(2^n - 4) = 127/126

126*(2^n - 2) = 127*(2^n - 4) ----> 126*2^n - 252 = 127*2^n - 508 ---->

2^n = 256 ----> 2^n = 2^8 -----> n = 8

I ----> t*(2^7 - 1) = 63,5 ----> t*127 = 63,5 ------> t = 0,5 min

S = 0,5*(2^8 - 1) ----> S = 127,5 min

por **Euclides** Ter 14 Jun 2011, 20:20

Meu caro Élcio, ficou-me uma dúvida:

você escreveu:Seja t o tempo da 1ª questão. Para as n questões teremos os tempos:

t, 2t, 4t ................ t*2^(n-2), t*2^(n-1), t*2^n

1º termo = t
Razão = 2

Não deveria ser:

$t,\;2t.\;4t.\;.....,2^{n-1}t$

o expoente igual a n-1? Embora isso altere o resultado.

por Lucas00 Ter 14 Jun 2011, 20:34

o que significa ^ ?

por **Elcioschin** Ter 14 Jun 2011, 22:18

Lucas

O símbolo ^significa "elevado ao expoente". Por exemplo x^2 = x²

Euclides: Vc está coberto de razão. Passou despercebido. Eis a nova solução:

Seja t o tempo da 1ª questão. Para as n questões teremos os tempos:

t, 2t, 4t ................ t*1^(n-3), t*2^(n-2), t*2^(n-1)

1º termo = t
Razão = 2

Soma da primeira à penúltima:

63,5 = t*[2^(n-2) - 1]/(2 - 1) ----> t*[2^(n-2) - 1)] = 63,5 ----> I

Soma da primeira à antepenúltima:

31,5 = t*[2^(n-3) - 1]/(2 - 1) ----> t*[2^(n-3) - 1)] = 31,5 ----> II

I : II -----> [2^(n-2) - 1]/[2^(n - 3) - 1) = 635/315 ---->

[(2^n - 4)/2]/[2^n - 8 )/8] = 127/63 ----> (2^n - 4)/(2^n - 8 ) = 127/126

126*(2^n - 4) = 127*(2^n - 8 ) ----> 126*2^n - 504 = 127*2^n - 1016 ---->

2^n = 512 ----> 2^n = 2^9 -----> n = 9

I ----> t*(2^7 - 1) = 63,5 ----> t*127 = 63,5 ----> t = 0,5 min

S = 0,5*(2^9 - 1) ----> S = 255,5 min

Neste caso o gabarito estaria errado

Por outro lado:

A diferença 63,5 - 31,5 = 32 min representa o tempo gasto na penúltima questão.
Logo, o tempo gasto na última seria 64 min

Teríamos então a PG ---> 0,5 + 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 = 127,5

E olhe que curioso: a PG tem 8 termos!!!!

por **Euclides** Ter 14 Jun 2011, 23:04

Fiquei muito curioso com isso!!! Não consegui ainda ver onde está a falha... deve haver uma.

por **Euclides** Qua 15 Jun 2011, 00:16

Encontrei as equações corretas:

Suponha que na primeira questão seja gasto um tempo t. A partir daí

$t,\;2t.\;4t.\;.....,2^{n-1}t$

note que cada tempo é o dôbro do anterior. A soma de uma PG é dada por

$S_n=\frac{a_1(q^{n}-1)}{q-1}$

Foi-nos informado que

$\\S_{n-2}=31,5\hspace{40}S_{n-1}=63,5\\\\31,5=\frac{t(2^{n-2}-1)}{2-1}\hspace{40}63,5=\frac{t(2^{n-1}-1)}{2-1}\\\\\frac{63,5}{31,5}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}-1}\;\;\Rightarrow \;\;\frac{64-2^{-1}}{32-2^{-1}}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}-1} \\\\\\\frac{2^6-2^{-1}}{2^5-2^{-1}}=\frac{2^{n-1}-1}{2^{n-2}-1} \;\;\Rightarrow \;\;2^{n+4}-2^{n-3}-2^6+2^{-1} =2^{n+4}-2^5-2^{n-2}+2^{-1}$

$\\-2^{n-4}-2^6 =-2^5-2^{n-2} \\2^{n-2}-2^{n-3}=2^6-2^5\\2^{n-2}\left ( 1-2^{-1} \right )=2^{6} \left ( 1-2^{-1} \right )\\2^{n-2}=2^6\\n-2=6\\n=8$

$63,5=t(2^7-1)\;\;\to\;\;t=0,5$

$S_8=0,5(2^8-1)\;\;\to\;\;127,5$

$PG=0,5+1+2+4+8+16+32+64$