Questão da UNIRIO?

Estou estudando para a prova de matemática de amanhã e não consigo de jeito nenhum resolver a seguinte questão da lista de estudo:

Na figura abaixo, os vértices A, B, C e D do quadrado de lado 2 e centro 0 representam, no plano de Argand-Gauss, as raízes quartas do número complexo z.

[tem uma imagem de um quadrado levemente inclinado para a direita, com uma linha ligando a origem ao ponto A no 1º quadrante]

Se o ângulo entre o segmento AO e o eixo real é de 15º, qual é, n a forma algébrica, o número complexo z?

A resposta, segundo me disseramé 2 + 2i"raiz quadrada de 3"

Me ajudem, por favor? :/

vamos la, achei um sinal contrario na resposta

mas me corrijam se estiver errado.

ora se é um quadrado de lado 2.. entao sua diagonal vai ser 2v2.

Voce como tem a figura em maos fica mais facil de perceber que o modulo do numero complexo vai ser a metade da diagonal

entao modulo = v2

se o angulo que o modulo faz com o eixo real é 15°, entao com o eixo imaginario é 75° esse é o nosso argumento.

a formula trigonometrica é dada por:

z = modulo. cis(argumento) (cujo cis = cos +isen)

entao a gente descobriu uma das raizes quartas do numero complexo z

entao

raiz quarta z = v2.cis75°

passando a raiz quarta pro outro lado, vamos lembrar da potenciaçao, basta elevar o modulo a potencia 4 e multiplicar o argumento por 4

entao:

z = v2^4. cis(4.75°)

z = 4.(cos 300° + isen300°)

sabemos que cos 300° = 1/2

e sen 300° = -v3/2 (ai que talvez a pessoa que te disse deve ter se equivocado)

entao:

z = 4( 1/2 - v3/2i)

z = 2 - 2v3i

erro meu.

o argumento é dado pelo angulo entre o modulo e o eixo real mesmo.

entao o argumento fica 15°

assim o z fica

z = v2^4. cis(4.15°)

z = 4. cis 60°

cos 60° = 1/2 e sen 60° = v3/2

assim

z = 2 + 2v3i



erro meu.