Números Complexos - Questão Unirio

por Emily Stephanny Sáb 13 Set 2014, 23:16

Se z₁ e z₂ são números complexos representados pelos seus afixos no plano de Argand-Gauss abaixo, então z₃= z₁.z₂ escrito na forma trigonométrica é:
Números Complexos - Questão Unirio 25kotq1

Números Complexos - Questão Unirio 25kotq1

Resposta: 2√2(cis225º)
(Não fiquem zoando meu plano cartesiano de paint... eu não sei mexer no excel Sad

)
Se alguém puder esclarecer essa questão para mim, é uma dúvida enorme que não vai me deixar dormir se eu for esperar pelo plantão da escola... e eu sei que aqui todo mundo tem um qi 200, menos eu, então Smile

por PedroCunha Dom 14 Set 2014, 00:12

Olá, Emily.

Do gráfico:

\\ z_1: \rho = \sqrt{(-2)^2+2^2} \therefore \rho = 2\sqrt2 \\\\ \sin \theta = \frac{2}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \cos \theta = \frac{-2}{2\sqrt2} = -\frac{\sqrt2}{2} \Leftrightarrow \theta = 135^{\circ} \\\\ z_2: \rho = \sqrt{0^2 + 1^2} \therefore \rho = 1 \\\\ \sin \theta = \frac{1}{1} = 1, \cos \theta = \frac{0}{1} = 0 \Leftrightarrow \theta = 90^{\circ}

Da primeira Lei de DeMoivre, sabemos que sendo z_1 = \rho_1 \cdot cis \theta e z_2 = \rho_2 \cdot cis \beta , então, z_1 \cdot z_2 = \rho_1 \cdot \rho_2 \cdot cis (\theta + \beta) . Assim:

\\ z_3 = 2\sqrt2 \cdot 1 \cdot cis (135^{\circ} + 90^{\circ}) \Leftrightarrow z_3 = 2\sqrt2 \cdot cis 225^{\circ} .

É isso.

Outra maneira é ver direto do gráfico que

\\ z_1 = -2 + 2i \therefore z_1 = 2\sqrt2 \cdot \left( -\frac{\sqrt2}{2} + \frac{\sqrt2}{2} \cdot i \right) \therefore z_1 = 2\sqrt2 \cdot \cis 135^{\circ} \\\\ z_2 = i \therefore z_2 = 1 \cdot (0 + 1 \cdot i) \Leftrightarrow z_2 = 1 \cdot cis 90^{\circ} \\\\ \Leftrightarrow z_3 = 2\sqrt2 \cdot cis 225^{\circ}

Ainda outra maneira seria

\\ z_1 \cdot z_2 = (-2+2i) \cdot i \therefore z_2 = -2 - 2i \therefore z_2 = 2\sqrt2 \cdot \left(-\frac{\sqrt2}{2} - \frac{\sqrt2}{2} \cdot i \right) \therefore \\\\ \Leftrightarrow z_3 = 2\sqrt2 \cdot cis 225^{\circ}

Qualquer dúvida é só falar, Very Happy