Questão de Números Complexos

Em uma determinada atividade foi dado o número complexo



o qual é raiz décima da unidade, e foi solicitado que se calculasse 



Nestas condições, podemos afirmar que:





Resposta:

.

pi/5 = 36º --> 2.pi/5 = 72º --> 3.pi/5 = 108º --> 4.pi/5 = 144º --> 5.pi/5 = 180º --> 6.pi/5 = 216º 
7.pi/5 = 252º ---> 8.pi/5 = 288º --> 9.pi/5 = 324º

Desenhe os afixos deste complexos num círculo trigonométrico. Você verá que

O afixo de pi/5 é oposto ao de 4.pi/5 e 9.pi/5
O afixo de 2.pi/5 é oposto ao de 3pi/5 e 8.pi/5
O afixo de 3.pi/5 é oposto ao de 2pi/5 e 7.pi/5 
O afixo de 4.pi/5 é oposto ao de pi/5 e 6.pi/5

Estes oito afixos se cancelam, isto é, a soma vetorial deles é nula.
Sobra somente o afixo de 5.pi/5 = pi = 180º

S = 10.cos180º + i.sen180º ---> S = 10.(-1) + i.0 ---> S = - 10

Uma outra forma seria, já que w é uma raiz décima da unidade, então w^10 = 1. Naquela soma, some e subtraia 10w^10. Com o +10w^10, coloque o 10 em evidência e faça a soma da PG com primeiro termo w, razão w e número de termos 10, sendo w^10 = 1, a soma dessa PG será igual a 0, sobrando apenas o termo - 10w^10 que é igual a -10.

Entendi!

Muito obrigado!

Me ajudou demais!