trigonometria

CALCULE k de modo que as raízes da equação X^2-2xk+k^2+k=0

sejam o seno e o cosseno de um mesmo ângulo.

x² - 2kx + k² + k = 0

∆ = b² - 4ac ----> ∆ = (-2k)² - 4*1*(k² + k) ----> ∆ = - 4k

x = [2k ± \/(-4k)]/2 ----> x = [2k ± 2*\/(-k)]/2 ----> x = k ± \/(-k)

senA = k + \/(-k) ----> sen²A = k² - k + 2k*\/(-k)

cosA = k - \/(-k) ----> cos²A = k² - k - 2k*\/(-k)

sen²A + cos²A = 1 ----> 2k² - 2k = 1 ----> 2k² - 2k - 1 = 0

∆ = (-2)² - 4*2*(-1) ----> ∆ = 12 ----> \/12 = 2*\/3

k = (2 + - 2*\/3)/2*2 ----> k' = (1 + \/3)/2 (não serve pois senA > 1) ----> k" = (1 - \/3)/2

No cálculo de k dividimos por 2.a, portanto devemos dividir por 4 e a resposta final será k = (1 - V3)/2

profmat2000

Você tem razão: eu esquecí do valor a = 2 no denominador das raízes)

Já editei minha original solução (em vermelho)

Obrigado

Sendo sena e cosa as raízes da equação, temos:
sena + cosa = 2k (I) e sena . cosa = k^2 + k (II)
De (I) sena + cosa = 2k, temos:
[ sena + cosa ]^2= (2k)^2, então (sena)^2 + 2 sena . cosa + (cosa)^2 = 4k^2
(sena)^2 + (cosa)^2 + 2 sena . cosa = 4k^2
Pela relação fundamental da trigonometria, temos que (sena)^2 + (cosa)^2 = 1, portanto:
1 + 2 sena. cosa = 4k^2, o que implica que 2 sena . cosa = 4k^2 – 1, daí
sena . cosa = (4k^2 – 1)/ 2
Mas, de (II) temos que sena . cosa = k^2 + k, portanto:
(4k^2 – 1)/ 2 = k^2 + k --> 4k^2 – 1 = 2k^2 + 2k --> 4k^2 – 2k^2 – 2k – 1 = 0 --> 2k^2 – 2k – 1 = 0
k =(2 +- V12)/4 --> k =(1 +- V3)/2 --> k = (1 + V3)/2 ou K = (1 - V3)/2

Pela maneira que Elcioschin calculou fica claro o porquê da exclusão de uma das raízes, todavia pelo meu modo não encontro a justificativa, embora saiba que ao elevar sena + cosa ao quadrado eu esteja inserindo uma raiz estranha na equação.

profmat

O seu modo tamém está correto.

Para esclarecer sua dúvida: uma das soluções suas vale k = (1 + \/3)/2

Acontece que k = sena ou k = cos a. Neste caso teríamos:

sena = (1 + \/3)/2 ----> sena ~= (1 + 1,732)/2 ----> sena ~= 1,366 ----> Impossível, pois -1 =< sena =< 1

O mesmo vale para k = cosa

Logo, esta solução não serve