Questão da Puc-Sp sobre Função Quadrática.

por Kaik Dom 27 Out 2024, 20:44

(PUC-SP-80)A equação x + y = x . y com dual incognitas reais:

A) não admite Solução com x > 0 e y > 0
B) admite Solução com x < 0 e y < 0
C) tem uma única Solução real
D) tem exatamente duas Soluções reais
E) não admite Solução em que x = 1

por **Giovana Martins** Dom 27 Out 2024, 21:10

Manipulação algébrica:

x + y = xy

xy - x - y = 0

xy - x - y + 1 = 1

(x - 1)(y - 1) = 1

Solução óbvia: x - 1 = 1 e y - 1 = 1, o que acarreta x = y = 2. Deste modo, o par (x,y) = (2,2) é uma possível solução.

Uma outra solução óbvia seria x - 1 = - 1 e y - 1 = - 1, o que acarreta x = y = 0, ou seja, o par (x,y) = (0,0) é uma outra possível solução.

A partir daqui já conseguimos eliminar alternativas até chegarmos à alternativa correta.

Alternativa A: falsa, pois o par ordenado (x,y) = (2,2) é solução da equação.

Alternativa B: falsa. As soluções são (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa C: falsa. Há as seguintes soluções (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa D: verdadeira, tal que as soluções são (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa E: verdadeira, pois se x = 1 ter-se-á 0 · (y - 1) = 1, o que nunca ocorrerá.

Entendo que há duas alternativas corretas.

por **tales amaral** Hoje à(s) 09:06

Giovana Martins escreveu:
Manipulação algébrica:

x + y = xy

xy - x - y = 0

xy - x - y + 1 = 1

(x - 1)(y - 1) = 1

Solução óbvia: x - 1 = 1 e y - 1 = 1, o que acarreta x = y = 2. Deste modo, o par (x,y) = (2,2) é uma possível solução.

Uma outra solução óbvia seria x - 1 = - 1 e y - 1 = - 1, o que acarreta x = y = 0, ou seja, o par (x,y) = (0,0) é uma outra possível solução.

A partir daqui já conseguimos eliminar alternativas até chegarmos à alternativa correta.

Alternativa A: falsa, pois o par ordenado (x,y) = (2,2) é solução da equação.

Alternativa B: falsa. As soluções são (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa C: falsa. Há as seguintes soluções (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa D: verdadeira, tal que as soluções são (x,y) = {(0,0), (2,2)}.

Alternativa E: verdadeira, pois se x = 1 ter-se-á 0 · (y - 1) = 1, o que nunca ocorrerá.

Entendo que há duas alternativas corretas.

A alternativa D é falsa, pois existem outras soluções reais. Por exemplo (3,3/2). A B) é falsa, pois se x,y<0, temos que x+y<0 e xy>0, logo não podemos ter xy = x+y.

por **Elcioschin** Hoje à(s) 09:18

x + y = x.y ---> x = x.y - y ---> x = (x - 1).y ---> y = x/(x - 1)

Restrição: x ≠ 1 ---> Testando apenas para alguns valores inteiros de x:

x = 0 ---> y = 0 ---> (0, 0)
x = 2 ---> y = 2 ---> (2, 2)
x = 3 ---> y = 3/2 --> (3, 3/2)
x = -1 --> y = 1/2 --> (-1, 1/2)
x = -2 --> y = 2/3 --> (-2, 2/3)
São infinitas soluções