Desafio sobre expressão algébrica

por Mathciota Ter 29 Out 2024, 14:11

Dada a expressão:

$Desafio sobre expressão algébrica Svg$

Determine o valor de:

$Desafio sobre expressão algébrica Svg$

por **Elcioschin** Ter 29 Out 2024, 16:43

Desenvolva o numerador (a-b).(b-c).(c-a) e fatore os termos com a.b, b.c, c.a e multiplique por 11
Faça similar para o denominador e multiplique por 1
Iguale os dois resultado e simplifique

Na expressão pedida faça a soma das três frações e multiplique os fatores do denominador

Tente completar

por **Giovana Martins** Ter 29 Out 2024, 21:17

Mathciota, boa noite. Fiz um esboço aqui mesmo pelo fórum.

Não consegui conferir os cálculos e, provavelmente, só conseguirei fazer isso no fim de semana. É claro, se eu conseguir fazer isso ao longo da semana, eu posto aqui, mas acho um pouco difícil. A semana está corrida.

A propósito, omiti algumas passagens para ganhar um pouco de tempo, por isso algumas coisas podem ficar obscuras ao longo da resolução. De qualquer modo, pode perguntar se houver dúvidas.

Uma ideia: fazendo u = (a - b)/(a + b), chegue em a/(a+b) = (1 - u)/2.

Escreva a/(a+b) como (1 - u)/2, b/(b+c) = (1 - z)/2 e c/(a + c) = (1 - w)/2.

No fim de semana eu mostro como fazer esta manipulação.

Some as três igualdades, daí você cairá em:

a/(a+b) + b/(b+c) + c/(a + c) = [3 - (u + z + w)]/2

É possível escrever ainda a(1 - u) = b(1 + u) e analogamente o mesmo para as outras parcelas. Faça (a/b) · (b/c) · (c/a) = 1.

É para você recair em algo do tipo:

(1 - u)(1 - z)(1 - w) = (1 + u)(1 + z)(1 + w)

Manipulando esta expressão chega-se em u + z + w = - uzw.

Como a/(a+b) + b/(b+c) + c/(a + c) = [3 - (u + z + w)]/2 = (3 + uzw)/2 = [3 + (1/11)]/2 = 17/11.

Novamente, confira atentamente os cálculos, pois não os revisei. Farei isso ao longo da semana.

por Mathciota Qua 30 Out 2024, 10:00

Bom dia, Elcioschin e Giovana! Grato pela atenção de vocês!

Uma forma de solucionar é a seguinte:
Definindo,

x:= a+b y:=b+c e z:=c+a.

Temos então que

a=x-b, b=y-c e c=z-a

Logo,

a=x-(y-c):left_right_arrow:a=x-y+(z-a):left_right_arrow:2a=x+z-y. De maneira análoga, concluímos que

a=(x+z-y)/2 , b=(x+y-z)/2 e c=(y+z-x)/2

Podemos portanto reescrever

a-b=z-y, b-c=x-z e c-a=y-x

Daí,

[(x-y)(x-z)(y-x)]/xyz = 1/11 e queremos S= [(x+z-y)/2]/x + [(x+y-z)/2]/y + [(y+z-x)/2]/z

Ou seja,

2S = (x+z-y)/x + (x+y-z)/y + (y+z-x)/z
= 3+(x/y)-(y/x)+(z/x)-(x/z)+(y/z)-(z/y) (*)

Da hipótese, segue que

1/11 = [(z-y)(x-z)(y-x)]/xyz
= (x²y-x²z-xy²+xz²+y²z-yz²)/xyz
= (x/z)-(x/y)-(y/z)+(z/y)+(y/x)-(z/x)
Por (*), temos então que

1/11 = 3 - 2S

Isto é,
2S=3-(1/11) de onde concluímos que S=(16/11).

Essa é uma resolução muito extensa, então imaginei que com a ajuda do fórum pudesse encontrar algo mais fácil. Sou novo aqui no fórum e espero contribuir com a comunidade, assim como vocês! Estou me formando em Matemática no final do ano, espero um dia ser um professor de nível ITA e com certeza este fórum irá me ajudar a chegar lá! Abraços!!

por **Giovana Martins** Dom 03 Nov 2024, 07:17

Não sei se há uma resolução mais enxuta. Acredito que a minha resolução esteja ligeiramente mais enxuta que a sua, porém, acho a sua resolução mais agradável que a minha por ser mais fácil de enxergar.

Observe as seguintes manipulações algébricas às quais eu me referi no post anterior.

\[\mathrm{\frac{2a}{a+b}=1-\frac{b-a}{a+b}}\]

\[\mathrm{\frac{2c}{a+c}=1-\frac{a-c}{a+c}}\]

\[\mathrm{\frac{2b}{b+c}=1-\frac{c-b}{b+c}}\]

Somando as três igualdades:

\[\mathrm{\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}=\frac{1}{2}\left [ 3-\left ( \frac{b-a}{a+b}+\frac{a-c}{a+c}+\frac{c-b}{b+c} \right ) \right ]}\]

Expandindo somente o membro que encontra-se em parênteses da última igualdade:

\[\mathrm{\frac{(-1)[(a-b)(a+c)(b+c)+(c-a)(a+b)(b+c)+(b-c)(a+b)(a+c)]}{(a+b)(a+c)(b+c)}}\]

\[\mathrm{=\frac{-a^{2} b+a^{2} c+ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c+bc^{2}}{(a+b)(a+c)(b+c)}}\]

Aqui vem o "pulo do gato", pois:

\[\mathrm{(a-b)(b-c)(c-a)=-a^{2} b+a^{2} c+ab^{2}-ac^{2}-b^{2}c+bc^{2}}\]

Assim:

\[\mathrm{\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}=\frac{1}{2}\left [ 3-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(a+c)(b+c)} \right ]}\]

Tal que:

\[\mathrm{\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}=\frac{1}{2}\cdot \left ( 3-\frac{1}{11} \right )}\]

\[\mathrm{\therefore\ \boxed{\mathrm{\frac{a}{a+b}+ \frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}=\frac{16}{11}}}}\]

por **Giovana Martins** Dom 03 Nov 2024, 07:18

A propósito, desculpe a demora. Durante a semana é um pouco complicado para eu logar no fórum por questões de tempo.

por **Giovana Martins** Dom 03 Nov 2024, 07:19

E seja bem-vindo ao fórum!

Espero que você alcance o seu objetivo!

por Mathciota Seg 04 Nov 2024, 15:38

Nossa, achei a sua resolução bem mais limpa! Sem problemas quanto à demora. Muito obrigado pela ajuda!

por **Giovana Martins** Seg 04 Nov 2024, 19:56

Eu que agradeço, Mathciota.

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