Iezzi 3 volumes função exponencial exercício 15

por brunoriboli Ter 06 Ago 2024, 15:19

Seja f: R --> R definida por f(x) = (1/3)^(-x²+2x-5). Qual é o valor mínimo que f assume?

Gabarito: 81

por Lipo_f Ter 06 Ago 2024, 16:04

f(x) = a^g(x) pra a > 1, f é tão menor quanto menor for g(x). Se for 0 < a < 1, é o oposto, então quero o máximo de g(x) (porque 1/3 < 1).
g(x) = -x² + 2x - 5, cujo máximo é em x = -b/2a = -2/2(-1) = 1 => gmax = g(1) = -1 + 2 - 5 = -4 => fmín = f(1) = (1/3)^-4 = 3^-4 = 81.

Outra solução:
f(x) = (1/3)^(-x²+2x-5) => f'(x) = (-2x + 2)ln(1/3).(1/3)^(-x² + 2x - 5). Para mínimo ou máximo, f'(x) = 0 => como (1/3)^x > 0 pra todo x, deve -2x + 2 = 0 => x = 1, logo recaio em f(1) = 81 como mínimo.

por brunoriboli Ter 06 Ago 2024, 17:12

Lipo_f escreveu:f(x) = a^g(x) pra a > 1, f é tão menor quanto menor for g(x). Se for 0 < a < 1, é o oposto, então quero o máximo de g(x) (porque 1/3 < 1).
g(x) = -x² + 2x - 5, cujo máximo é em x = -b/2a = -2/2(-1) = 1 => gmax = g(1) = -1 + 2 - 5 = -4 => fmín = f(1) = (1/3)^-4 = 3^-4 = 81.

Outra solução:
f(x) = (1/3)^(-x²+2x-5) => f'(x) = (-2x + 2)ln(1/3).(1/3)^(-x² + 2x - 5). Para mínimo ou máximo, f'(x) = 0 => como (1/3)^x > 0 pra todo x, deve -2x + 2 = 0 => x = 1, logo recaio em f(1) = 81 como mínimo.

Se for entre 0 < a < 1 achando o máximo eu encontro o mínimo?

por Lipo_f Ter 06 Ago 2024, 17:32

brunoriboli escreveu:
Se for entre 0 < a < 1 achando o máximo eu encontro o mínimo?

Isso. É só pensar: (1/algo) elevado ao grande => fica menor (mínimo). Elevado ao pequeno => fica maior (máximo).

por brunoriboli Ter 06 Ago 2024, 17:34

Lipo_f escreveu:
brunoriboli escreveu:
Se for entre 0 < a < 1 achando o máximo eu encontro o mínimo?
Isso. É só pensar: (1/algo) elevado ao grande => fica menor (mínimo). Elevado ao pequeno => fica maior (máximo).

Obrigado!

por matheus_feb Ter 06 Ago 2024, 18:17

brunoriboli escreveu:Seja f: R --> R definida por f(x) = (1/3)^(-x²+2x-5). Qual é o valor mínimo que f assume?

Gabarito: 81

Como f(x) deve ser mínimo, para isso, x deve assumir valor também mínimo. Sendo YXvo vértice de mínimo para a abscissa de ''y'' mínimo, temos que Xv = -b/2a, temos:

f(x) = (1/3)^{(-x2 +2x -5)}

Xv = -2 / 2.(-1) = -2/-2 = 1.

Substituindo:

f(x) = (1/3)^{(-1 + 2 -5)}
f(x) = (1/3)^-4 = (3/1)⁴= 3⁴= 81.