Iezzi 3 volumes função exponencial exercício 34

Resolva a equação:

5 + (3*9^x-8*15^x)/(25^x) = 0

Gabarito: {0,-1}

\[
\frac{3 \cdot 9^x - 8 \cdot 15^x}{25^x} = -5
\]

\[
9^x = (3^2)^x = (3^x)^2
\]
\[
15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x
\]
\[
25^x = (5^2)^x = (5^x)^2
\]

Substituindo na equação:

\[
\frac{3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} = -5
\]

Dividimos o numerador por \( (5^x)^2 \):

\[
\frac{3 \cdot (3^x)^2}{(5^x)^2} - \frac{8 \cdot 3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} = -5
\]

Podemos reescrever essa expressão como:

\[
3 \cdot \left(\frac{3^x}{5^x}\right)^2 - 8 \cdot \frac{3^x}{5^x} = -5
\]

Agora, fazemos a substituição \( y = \frac{3^x}{5^x} = \left(\frac{3}{5}\right)^x \), então:

\[
3y^2 - 8y = -5
\]

\[
3y^2 - 8y + 5 = 0
\]

Resolvendo

\[
y_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]
\[
y_2 = \frac{6}{6} = 1
\]


1. Para \( y_1 = \frac{5}{3} \):
   \[
   \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3}
   \]
   Invertendo ambos os lados:
   \[
   \left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3}
   \]
   \[
   x = 1
   \]

2. Para \( y_2 = 1 \):
   \[
   \left(\frac{3}{5}\right)^x = 1
   \]
   Isso acontece quando \( x = 0 \).

Portanto, as soluções para a equação original são:

\[
\boxed{0 \text{ e } -1}
\]

petras escreveu:\[
\frac{3 \cdot 9^x - 8 \cdot 15^x}{25^x} = -5
\]

\[
9^x = (3^2)^x = (3^x)^2
\]
\[
15^x = (3 \cdot 5)^x = 3^x \cdot 5^x
\]
\[
25^x = (5^2)^x = (5^x)^2
\]

Substituindo na equação:

\[
\frac{3 \cdot (3^x)^2 - 8 \cdot 3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} = -5
\]

Dividimos o numerador por \( (5^x)^2 \):

\[
\frac{3 \cdot (3^x)^2}{(5^x)^2} - \frac{8 \cdot 3^x \cdot 5^x}{(5^x)^2} = -5
\]

Podemos reescrever essa expressão como:

\[
3 \cdot \left(\frac{3^x}{5^x}\right)^2 - 8 \cdot \frac{3^x}{5^x} = -5
\]

Agora, fazemos a substituição \( y = \frac{3^x}{5^x} = \left(\frac{3}{5}\right)^x \), então:

\[
3y^2 - 8y = -5
\]

\[
3y^2 - 8y + 5 = 0
\]

Resolvendo

\[
y_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}
\]
\[
y_2 = \frac{6}{6} = 1
\]


1. Para \( y_1 = \frac{5}{3} \):
   \[
   \left(\frac{3}{5}\right)^x = \frac{5}{3}
   \]
   Invertendo ambos os lados:
   \[
   \left(\frac{5}{3}\right)^x = \frac{5}{3}
   \]
   \[
   x = 1
   \]

2. Para \( y_2 = 1 \):
   \[
   \left(\frac{3}{5}\right)^x = 1
   \]
   Isso acontece quando \( x = 0 \).

Portanto, as soluções para a equação original são:

\[
\boxed{0 \text{ e } -1}
\]

Muito obrigado!