Questão óptica, espelhos esféricos

As faces refletoras de dois espelhos esféricos côncavos idênticos, de distância focal f, são colocadas frente a frente. Os eixos principais dos dois espelhos coincidem e a distância entre seus vértices é d. Um ponto luminoso é colocado no eixo principal, no ponto médio entre seus vértices. Observa-se a que o ponto imagem final, conjugada pelos espelhos, coincide com o ponto objeto. A distância d pode ser igual a: 
a) f ou 2f 
b) 2f ou 4f 
c) 3f ou 4f 
d) 2f ou 5f 
e) 1,2f ou 2,4f 

gab: b


PS: gostaria de saber se há possibilidade de aparecer uma equação do 2º grau com suas raízes iguais as duas possíveis posições, é possível fazê-la analisando as alternativas também.

Deve aparecer uma função do 2º grau sim, na variável d

Ponto médio M fica exatamente no meio da distância d
Logo, para a 1ª reflexão no espelho 1 ---> p1 = d/2

1/f = 1/p1 + 1/p'1 ---> 1/f = 1/(d/2) + 1/p'1 ---> 1/f = 2/d + 1/p'1

Calcule p'1 em função de f e da variável d ---> I

Esta 1ª imagem, distante p'1 do espelho 1 servirá de objeto para o espelho 2:

p2 = d - p'1 --> substitua p'1 e calcule p2 em função de f e variável p --> II

A 2ª imagem coincidirá com o objeto, logo, p'2 = d/2

1/f = 1/p2 + 1/p'2 ---> 1/f = 1/p2 + 1/(d/2) 

Substitua p2 e forme a equação do 2º grau