funçao do 2 grau, graficos

por qzo mat Dom 08 Set 2024, 08:03

A figura é o grafico de f(x)=ax2+bx+c. O valor de a-b+c é: a)-1/3 b)-2/3 c)0 d)2/3 e)5/3 funçao do 2 grau, graficos Cg9NAcWzdAAAAAElFTkSuQmCC

por **Giovana Martins** Dom 08 Set 2024, 08:22

Na minha opinião, o enunciado não é muito preciso. Ele precisaria indicar que o par ordenado (2,3) corresponde ao vértice da parábola, do contrário a questão não me parece ter solução.

Supondo que o par ordenado seja o vértice da parábola, a média aritmética entre as raízes da função do segundo grau corresponde a abscissa do vértice da parábola. Deste modo:

\[\mathrm{\frac{x_1+x_2}{2}=x_v\to \frac{-1+x_2}{2}=2\ \therefore\ x_2=5}\]

A forma fatorada de um polinômio de grau dois é dada por:

\[\mathrm{f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)}\]

Sendo a o coeficiente do termo de maior grau de f(x).

Assim, note que:

\[\mathrm{f(x)=a(x+1)(x-5)}\]

Observe que o par ordenado (2,3) pertence à parábola, tal que:

\[\mathrm{f(2)=3\ \therefore\ 3=a\cdot (2+1)\cdot (2-5)\ \therefore\ a=-\frac{1}{3}}\]

Agora podemos escrever f(x) como:

\[\mathrm{f(x)=-\frac{1}{3}(x+1)(x-5)\ \therefore\ f(x)=-\frac{1}{3}x^2+\frac{4}{3}x+\frac{5}{3}}\]

Comparando termo a termo considerando f(x) = ax² + bx + c:

\[\mathrm{\left ( a,b,c \right )=\left ( -\frac{1}{3},\frac{4}{3},\frac{5}{3} \right )\ \therefore\ a-b+c=-\frac{1}{3}-\frac{4}{3}+\frac{5}{3}\ \therefore\ a-b+c=0}\]

por **Medeiros** Dom 08 Set 2024, 14:16

Outro modo, usando a forma canônica da equação da parábola.

y = a.(x - x_V)² + y_V , onde (x_V, y_V) são as coordenadas do vértice.

Considerando como vértice o ponto (2, 3), a eq. canônica fica:

y = a.(x -2)² + 3

Aplicando a esta eq. o outro ponto conhecido da parábola, sua raiz (-1, 0), vamos obter o valor do a.

0 = 9a + 3 -----> a = -1/3

Aplicando o valor de a, temos a equação da parábola.

y = (-1/3)x² + (4/3)x + (5/3)

Portanto, a-b+c = -1/3 - 4/3 + 5/3 = 0

por **Elcioschin** Dom 08 Set 2024, 14:23

Outro modo

f(x) = a.x² + b.x + c

Para x = -1 ---> f(-1) = 0 ---> 0 = a.(-1)² + b.(-1) + c ---> a - b + c = 0
Para x = 5 ---> f(5) = 0 -----> 0 = a.5² + b.5 + c ---> 25.a + 5.b + c = 0
Para x = 2 ---> f(2) = 3 -----> 3 = a.2² + b.2 + c ---> 4.a + 2.b + c = 3

Basta resolver o sistema de equações.

por matheus_feb Dom 08 Set 2024, 14:33

qzo mat escreveu:A figura é o grafico de f(x)=ax2+bx+c. O valor de a-b+c é: a)-1/3 b)-2/3 c)0 d)2/3 e)5/3

Um método mais rápido:

Consideremos o ponto de coordenadas (-1,0). Substituindo a abscissa e a ordenada em f(x), temos, genericamente:

f(x) = ax²+ bx + c → 0 = a.(-1)²+ b.(-1) + c → a - b + c = 0

por **Giovana Martins** Dom 08 Set 2024, 14:36

matheus_feb escreveu:
qzo mat escreveu:A figura é o grafico de f(x)=ax2+bx+c. O valor de a-b+c é: a)-1/3 b)-2/3 c)0 d)2/3 e)5/3
Um método mais rápido:

Consideremos o ponto de coordenadas (-1,0). Substituindo a abscissa e a ordenada em f(x), temos, genericamente:

f(x) = ax²+ bx + c → 0 = a.(-1)²+ b.(-1) + c → a - b + c = 0

Excelente!