pirâmides

Uma pirâmide hexagonal regular de altura

h =(2∛2)/(∛2 )-1


e volume V, é seccionado por um plano paralelo à base determinando um tronco de pirâmide de altura k e volume V/2. Determine, em metros, o valor de k.

Quando a pirâmide é seccionada por um plano paralelo à sua base, dois novos sólidos são formados:

(i) Um tronco de pirâmide com volume \(\frac{V}{2}\) e altura \(k\).
(ii) Uma pirâmide menor, semelhante à original, com volume \(\frac{V}{2}\) e altura \(h-k\).

A razão de semelhança entre a pirâmide menor e a pirâmide maior é dada por:

\[\frac{h}{h-k}=(\frac{V}{V/2})^{\frac{1}{3}}=\sqrt[3]{2}\]
\[\Rightarrow h=h\sqrt[3]{2}-k\sqrt[3]{2}\]
\[\Rightarrow k=\frac{h(\sqrt[3]{2}-1)}{\sqrt[3]{2}}\]
\[\Rightarrow k=\frac{\frac{2\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}-1}\cdot(\sqrt[3]{2}-1)}{\sqrt[3]{2}}\]
\[\therefore \fbox{$k=2$}\]