Questão sobre inequação

Pessoal, por favor, alguém poderia me explicar essa questão passo a passo. Fico agradecido, desde já, obrigado.



"Determine os valores de m de modo que a desigualdade a seguir seja verdadeira para qualquer valor real de x". 


-3 < (x^2 + mx - 2) : (x^2 - x + 1) < 2

Vou começar e você termina:

1ª inequação: - 3 < (x² + m.x - 2)/(x² - x + 1) --->

0 < 3 + (x² + m.x - 2)/(x² - x + 1) --->

0 < [(3.x² - 3.x + 3) + (x² + m.x - 2)]/(x² - x + 1) --->

0 < [4.x² + (m - 3).x + 1]/(x² - x + 1)

A função do denominador é uma parábola com a concavidade voltada para cima. Ela tem raízes complexas, logo a função é sempre positiva.

Logo devemos ter: 4.x² + (m - 3).x + 1 > 0

Esta parábola também tem a concavidade voltada para cima.
Para ser sempre positiva seu discriminante deve ser negativo:

∆ < 0 ---> (m - 3)² - 4.4.1 < 0 --> m² - 6.m - 7 < 0

Para esta nova função do 2º grau ser negativa m deve estar entre as duas raízes:

Raízes ---> m = - 1 e m = 7 ---> - 1 < m < 7

Faça similar para a 2ª inequação: (x² + m.x - 2)/(x² - x + 1) < 2

Determine o(s) novo(s) intervalo(s) de m e faça a interseção com o já calculado.

Tens o gabarito?

TA bem Mestre, vou me deidcar para terminar, já é de garnde ajuda. Obrigado pela atenção. Esqueci de colocar o gabarito, desculpa!

No livro apresenta o seguinte como resposta:

S = S(I) inter S(II) ={ m pertencete aos reais, tal que, -1 < m < 2}